Gymnasiet

Ma4

Kapitel 3.6.2

Täthetsfunktioner och sannolikhetsfördelningar

Likformiga och exponentialfördelade slumpvariabler har enkla täthetsfunktioner. Här bestämmer du konstanter och räknar sannolikheter.

På den här sidan

Bakgrund

Olika slumpförlopp har olika typer av täthetsfunktioner. En likformig fördelning ger alla värden i ett intervall samma chans. En exponentialfördelning beskriver väntetider, till exempel tiden till nästa kund eller livslängden hos en komponent. Här bestämmer du konstanter i täthetsfunktioner och räknar sannolikheter.

Teori

Likformig fördelning

f(x)=\dfrac{1}{b-\nobreak a},\quad\allowbreak a\le\nobreak x\le\nobreak b

Exponentialfördelning

f(x)=\lambda e^{-\nobreak \lambda x},\quad\allowbreak x\ge\nobreak 0,\qquad\allowbreak P(X>\nobreak t)=e^{-\nobreak \lambda t}

Konstanten $\displaystyle \lambda$ är intensiteten, till exempel antal händelser per minut. Sambandet för $\displaystyle P(X>t)$ fås genom att integrera från $\displaystyle t$ och uppåt.

Bestämma en konstant

Om täthetsfunktionen innehåller en okänd konstant bestäms den av villkoret att den totala arean är 1.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Bestäm konstanten

Uppgift: Bestäm $\displaystyle k$ så att $\displaystyle f(x)=k(4-x^2)$ för $\displaystyle 0\le x\le2$ är en täthetsfunktion.

Exempel 2: Livslängd

Uppgift: En lampas livslängd i år är exponentialfördelad med $\displaystyle \lambda=0{,}2$ . Vad är sannolikheten att lampan håller mer än 5 år?

Interaktiva funktioner

Exponentialfördelad väntetid

Välj intensitet och tid. Det skuggade området är sannolikheten att vänta längre än den valda tiden.

Intensitet: $\displaystyle \lambda=0{,}5$

Tid: $\displaystyle t=2$

P(X>\nobreak 2)=e^{-\nobreak 0{,}5\cdot\nobreak 2}\approx\nobreak 0{,}368

Täthetsfunktionen för väntetiden

Lodrät axel: y

03610012

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=0{,}5e^{-0{,}5x}$

Skuggat område: sannolikheten att vänta längre (fram till 10), från $\displaystyle x=2$ till $\displaystyle x=10$ .

Vanliga misstag

Att glömma att täthetsfunktionen är noll utanför intervallet.
Att räkna ut sannolikheten för mindre än t när mer än t efterfrågas.
Att blanda ihop intensiteten med medelväntetiden, som är dess inverterade värde.

Vanliga frågor

Tips för täthetsfunktioner

Viktigt att tänka på

Skriv ut intervallet där täthetsfunktionen är skild från noll.
Kontrollera att konstanten ger total area 1.

Testa dig själv: Täthetsfunktioner1/3

Bestäm $\displaystyle k$ så att $\displaystyle f(x)=kx$ för $\displaystyle 0\le x\le2$ blir en täthetsfunktion.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i integraler för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här