Kapitel 3.6.3: Användning av integraler i sannolikhetsberäkningar | Matematik 4

Bakgrund

Förutom sannolikheter för intervall vill man ofta veta vilket värde slumpvariabeln har i genomsnitt, väntevärdet, och vilket värde som delar fördelningen mitt itu, medianen. Båda beräknas med integraler av täthetsfunktionen.

Teori

Väntevärde

E(X)=\nobreak \mu=\int_{-\nobreak \infty}^{\infty}x\,f(x)\,dx

Väntevärdet är tyngdpunkten för området under täthetsfunktionen, motsvarigheten till ett vägt medelvärde.

Median

\int_{-\nobreak \infty}^{m}f(x)\,dx=\dfrac{1}{2}

Standardavvikelse (fördjupning)

\sigma^2=\int_{-\nobreak \infty}^{\infty}(x-\nobreak \mu)^2f(x)\,dx

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Väntevärde och median

Uppgift: Täthetsfunktionen är $\displaystyle f(x)=2x$ för $\displaystyle 0\le x\le1$ . Bestäm väntevärde och median.

Exempel 2: Medianen för en exponentialfördelning

Uppgift: Väntetiden är exponentialfördelad med $\displaystyle \lambda=0{,}25$ per minut. Bestäm medianen och jämför med väntevärdet 4 minuter.

Interaktiva funktioner

Väntevärde och median

Täthetsfunktionen $\displaystyle f(x)=(n+1)x^n$ på $\displaystyle [0;\ 1]$ . Ändra $\displaystyle n$ .

Exponent: $\displaystyle n=1$

\mu=\dfrac{n+\nobreak 1}{n+\nobreak 2}\approx\nobreak 0{,}667,\qquad\allowbreak m=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1/(n+\nobreak 1)}\approx\nobreak 0{,}707

Fördelningen är skev åt vänster, och medianen ligger över väntevärdet.

Täthetsfunktionen med väntevärde och median

Lodrät axel: y

00,20,40,60,8101234567

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 0,2 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=2x^{1}$

Lodrät streckad hjälplinje: $\displaystyle x\approx0{,}666667$ .

Lodrät streckad hjälplinje: $\displaystyle x\approx0{,}707107$ .

Den vänstra streckade linjen är väntevärdet och den högra medianen.

Vanliga misstag

Att glömma faktorn x i integralen för väntevärdet.
Att blanda ihop median och väntevärde.
Att integrera utanför det intervall där täthetsfunktionen är definierad.

Vanliga frågor

Tips för sannolikhetsberäkningar

Viktigt att tänka på

Skriv upp integralen med rätt gränser innan du räknar.
Kontrollera rimligheten med en skiss.

Testa dig själv: Integraler i sannolikhetsberäkningar1/3

Vad är väntevärdet för täthetsfunktionen $\displaystyle f(x)=2x$ på $\displaystyle [0;\ 1]$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i integraler för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här