Kapitel 1.3.2: Tangens- och cotangensfunktioner | Matematik 4

Bakgrund

Tangens beskriver lutning: lutningen hos en linje som bildar vinkeln $\displaystyle x$ med x-axeln är $\displaystyle \tan x$ . Cotangens är det inverterade värdet. Till skillnad från sinus och cosinus kan de anta alla reella värden och har lodräta asymptoter.

Teori

\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x},\qquad\allowbreak \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\dfrac{1}{\tan x}

Egenskap	$\displaystyle \tan x$	$\displaystyle \cot x$
Inte definierad	$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+n\pi$	$\displaystyle x=n\pi$
Nollställen	$\displaystyle x=n\pi$	$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+n\pi$
Period	$\displaystyle \pi$	$\displaystyle \pi$
Mellan två asymptoter	växande	avtagande

Perioden är $\displaystyle \pi$ eftersom punkterna för $\displaystyle x$ och $\displaystyle x+\pi$ ligger mittemot varandra på enhetscirkeln. Både sinus och cosinus byter tecken, och kvoten blir densamma.

Ekvationen $\displaystyle \tan x=a$ har alltid lösningar:

\tan x=\nobreak a\ \Leftrightarrow\ x=\arctan a+\nobreak n\pi

Här är $\displaystyle \arctan a$ , samma som $\displaystyle \tan^{-1}a$ på räknaren, den vinkel mellan $\displaystyle -\frac{\pi}{2}$ och $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ som har tangensvärdet $\displaystyle a$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Tangensekvation

Uppgift: Lös $\displaystyle \tan x=-\sqrt{3}$ för $\displaystyle 0\le x<2\pi$ .

Exempel 2: Ekvation med sinus och cosinus

Uppgift: Lös $\displaystyle \sin x=\cos x$ för $\displaystyle 0\le x<2\pi$ .

Exempel 3: Lutningsvinkel

Uppgift: En väg stiger 8 m på 100 m vågrät sträcka. Vilken vinkel bildar vägen med det vågräta planet?

Interaktiva funktioner

Ekvationen tangens lika med a

Välj högerledet. Den vågräta linjen skär varje gren av tangenskurvan exakt en gång.

Högerled: $\displaystyle a=1$

x=\arctan(1)+\nobreak n\pi\approx0{,}785+\nobreak n\pi

0\le\nobreak x<\nobreak 2\pi:\quad x\approx\nobreak 0{,}785\ \text{ eller }\ x\approx\nobreak 3{,}927

Tangens, cotangens och linjen

Lodrät axel: y

\displaystyle -\pi

\displaystyle 0

\displaystyle \pi

\displaystyle 2\pi

−5−4−3−2−1012345

Vågrät axel: x

Rutlinjerna på x-axeln visar de markerade värdena. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=\tan x$
Streckad: $\displaystyle y=\cot x$
Prickad: $\displaystyle y=1$

Vanliga misstag

Att lägga till $\displaystyle n\cdot2\pi$ i stället för $\displaystyle n\pi$ och missa hälften av lösningarna.
Att blanda ihop $\displaystyle \cot x$ med $\displaystyle \arctan x$ . Cotangens är ett inverterat värde, arctan är en omvänd funktion.
Att dividera med $\displaystyle \cos x$ utan att kontrollera att den inte kan vara noll.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra tangens och cotangens

Viktigt att tänka på

Kom ihåg att perioden är $\displaystyle \pi$ .
Skriv om ekvationer med både sinus och cosinus till tangens när det går.
Markera asymptoterna först när du skissar grafen.

Testa dig själv: Tangens och cotangens1/3

Vad är $\displaystyle \cot\frac{\pi}{4}$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i trigonometri för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här