Kapitel 1.4: Radianer och deras tillampningar | Matematik 4

Bakgrund

Radianer mäter en vinkel med en längd: bågen delat med radien. Det gör att formler för båglängd, sektorarea och rotation blir enkla, och att derivatan av sinus blir cosinus utan extra faktorer. Det här avsnittet samlar omvandlingar och tillämpningar av radianer.

Teori

Definition och omvandling

v=\dfrac{s}{r},\qquad\allowbreak 2\pi\ \text{rad}=360^\circ,\qquad\allowbreak 1\ \text{rad}=\dfrac{180^\circ}{\pi}\approx57{,}3^\circ

Här är $\displaystyle s$ bågens längd och $\displaystyle r$ radien. Eftersom båda är längder saknar radianer egentlig enhet.

Båglängd och sektorarea

s=\nobreak rv,\qquad\allowbreak A=\dfrac{r^2v}{2}

Sektorarean är andelen $\displaystyle \frac{v}{2\pi}$ av cirkelns area $\displaystyle \pi r^2$ .

Rotation

Vinkelhastigheten $\displaystyle \omega$ anger hur många radianer något vrids per sekund. En punkt på avståndet $\displaystyle r$ från centrum har farten

u=\nobreak \omega r

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Båglängd

Uppgift: En cirkel har radien 5 cm. Hur lång är bågen som hör till vinkeln 1,2 radianer?

Exempel 2: Sektorarea

Uppgift: Bestäm arean av en sektor med radien 4 cm och vinkeln $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ .

Exempel 3: Hjulets fart

Uppgift: Ett hjul med radien 0,3 m snurrar 3 varv per sekund. Hur stor är vinkelhastigheten och farten i hjulets kant?

Interaktiva funktioner

Båge och sektor

Välj radie och vinkel i radianer.

Radie: $\displaystyle r=3$

Vinkel: $\displaystyle v=1{,}5\ \text{rad}$

s=\nobreak rv=3\cdot\nobreak 1{,}5=\nobreak 4{,}5,\quad\allowbreak A=\dfrac{r^2v}{2}=\nobreak 6{,}75,\quad\allowbreak v\approx85{,}9^\circ

Sektorn med valda mått

rbåge sv

Vanliga misstag

Att använda formlerna $\displaystyle s=rv$ och $\displaystyle A=\frac{r^2v}{2}$ med vinkeln i grader.
Att glömma att ett varv är $\displaystyle 2\pi$ , inte $\displaystyle \pi$ .
Att blanda ihop varv per sekund och radianer per sekund.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra radianer

Viktigt att tänka på

Kom ihåg att $\displaystyle \pi$ motsvarar ett halvt varv.
Omvandla till radianer innan du använder formler för båge och sektor.
Kontrollera räknarens vinkelläge.

Testa dig själv: Radianer1/3

En cirkel har radien 5 cm. Hur lång är bågen till vinkeln 1,2 radianer?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i trigonometri för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här