Kapitel 2.3: Skissning av grafer | Matematik 4

Bakgrund

Att skissa en graf utan digitalt verktyg tränar förståelsen för hur funktionsuttryck och graf hänger ihop. Derivatan visar var grafen växer och avtar, nollställen och asymptoter ger viktiga riktpunkter och beteendet för stora x-värden visar grafens ändar.

Teori

Arbetsgång

Bestäm definitionsmängden. Var är funktionen inte definierad?
Bestäm skärningen med y-axeln och om möjligt nollställena.
Derivera, lös $\displaystyle f'(x)=0$ och gör en teckentabell för derivatan.
Bestäm asymptoter och beteendet när $\displaystyle x\to\pm\infty$ .
Markera punkterna och dra kurvan i enlighet med teckentabellen.

En punkt där derivatan byter tecken från plus till minus är en maximipunkt, och från minus till plus en minimipunkt. Om derivatan är noll men inte byter tecken är punkten en terrasspunkt.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Tredjegradsfunktion

Uppgift: Skissa grafen till $\displaystyle f(x)=x^3-3x$ .

Lösning

Steg 1. Nollställen: bryt ut $\displaystyle x$ .
$x(x^2-\nobreak 3)=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ x=\nobreak 0,\ \allowbreak x=\pm\nobreak \sqrt{3}$
Steg 2. Derivatan är noll där tangenten är vågrät.
$f'(x)=\nobreak 3x^2-\nobreak 3=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ x=\nobreak \pm\nobreak 1$
Steg 3. Funktionsvärdena i de punkterna.
$f(-\nobreak 1)=\nobreak 2,\quad\allowbreak f(1)=\nobreak -\nobreak 2$
Steg 4. Teckentabellen visar att $\displaystyle (-1;\ 2)$ är maximum och $\displaystyle (1;\ -2)$ minimum.

Svar: Grafen kommer underifrån, vänder i maximum, går ner genom origo till minimum och fortsätter uppåt.

Teckentabell för derivatan

$\displaystyle x$	$\displaystyle x<-1$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle -1<x<1$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle x>1$
$\displaystyle f'(x)$	$\displaystyle +$ positiv	$\displaystyle 0$ noll	$\displaystyle -$ negativ	$\displaystyle 0$ noll	$\displaystyle +$ positiv
$\displaystyle f(x)$	växer	max	avtar	min	växer

$\displaystyle x<-1$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle +$ positiv
- $\displaystyle f(x)$ : växer
$\displaystyle -1$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle 0$ noll
- $\displaystyle f(x)$ : max
$\displaystyle -1<x<1$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle -$ negativ
- $\displaystyle f(x)$ : avtar
$\displaystyle 1$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle 0$ noll
- $\displaystyle f(x)$ : min
$\displaystyle x>1$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle +$ positiv
- $\displaystyle f(x)$ : växer

Exempel 2: Kvot med asymptot

Uppgift: Skissa grafen till $\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$ .

Interaktiva funktioner

Tredjegradsfunktionens form

Ändra $\displaystyle a$ i $\displaystyle f(x)=x^3+ax$ . Derivatan är $\displaystyle 3x^2+a$ .

Koefficient: $\displaystyle a=-3$

3x^2+\nobreak -\nobreak 3=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ x=\nobreak \pm\nobreak 1,\quad\allowbreak f(-\nobreak 1)\approx\nobreak 2,\quad\allowbreak f(1)\approx\nobreak -\nobreak 2

Grafen till den valda funktionen

Lodrät axel: y

−3−2−10123−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1012345678910

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=x^{3}-3x$

Markerade punkter (ungefär):

Maximum: (−1; 2)
Minimum: (1; −2)

Vanliga misstag

Att kalla varje punkt med derivatan noll för extrempunkt utan att kontrollera teckenbyte.
Att glömma punkter där funktionen inte är definierad.
Att rita grafen genom en lodrät asymptot.

Vanliga frågor

Tips för att skissa grafer

Viktigt att tänka på

Gör alltid en teckentabell för derivatan.
Börja med asymptoterna, de styr grafens form.

Testa dig själv: Skissning av grafer1/3

Vilka extrempunkter har $\displaystyle f(x)=x^3-3x$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här