Gymnasiet

Ma4

Kapitel 2.2.2

Logaritm- och exponentialfunktioners derivata

Här deriverar du exponential- och logaritmfunktioner i kombination med kedje- och produktregeln och hittar extrempunkter.

På den här sidan

Bakgrund

Exponential- och logaritmfunktioner beskriver tillväxt, avklingning, ljudnivåer och pH. Deras derivator kombineras ofta med kedje- och produktregeln. Här lär du dig derivera dem i alla kombinationer och använda derivatan för att hitta extrempunkter.

Teori

D\,e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)},\qquad\allowbreak D\,a^x=\nobreak a^x\ln a

D\ln x=\dfrac{1}{x},\qquad\allowbreak D\ln f(x)=\dfrac{f'(x)}{f(x)},\qquad\allowbreak D\lg x=\dfrac{1}{x\ln10}

Logaritmen är bara definierad för positiva tal, så $\displaystyle \ln f(x)$ kräver $\displaystyle f(x)>0$ . Logaritmlagarna kan förenkla innan man deriverar, till exempel $\displaystyle \ln(x^3)=3\ln x$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Logaritm av en kvot

Uppgift: Derivera $\displaystyle f(x)=\ln\dfrac{x^2}{x+1}$ för $\displaystyle x>0$ .

Exempel 2: Extrempunkt

Uppgift: Bestäm extrempunkten till $\displaystyle f(x)=xe^{-x}$ .

Exempel 3: Logaritmisk derivering

Uppgift: Derivera $\displaystyle f(x)=x^x$ för $\displaystyle x>0$ .

Interaktiva funktioner

Extrempunkt för en produkt

För $\displaystyle f(x)=xe^{kx}$ är derivatan $\displaystyle (1+kx)e^{kx}$ .

Konstant i exponenten: $\displaystyle k=-1$

1+\nobreak kx=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ x=-\nobreak \dfrac{1}{k}\approx\nobreak 1,\quad\allowbreak f\left(-\nobreak \tfrac{1}{k}\right)=-\nobreak \dfrac{1}{ke}\approx\nobreak 0{,}368

Funktionen och dess maximipunkt

Lodrät axel: y

0123456012

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=xe^{-1x}$

Markerade punkter (ungefär):

Maximipunkt: (1; 0,3679)

Vanliga misstag

Att derivera $\displaystyle \ln f(x)$ till $\displaystyle \frac{1}{f(x)}$ utan inre derivatan.
Att tro att $\displaystyle \ln(a+b)=\ln a+\ln b$ . Lagarna gäller produkter och kvoter.
Att glömma att logaritmen bara är definierad för positiva tal.

Vanliga frågor

Tips för exponential- och logaritmderivator

Viktigt att tänka på

Förenkla logaritmer med lagarna före deriveringen.
Bryt ut exponentialfaktorn när derivatan ska sättas lika med noll.
Använd $\displaystyle a^x=e^{x\ln a}$ när variabeln finns i både bas och exponent.

Testa dig själv: Logaritm- och exponentialderivator1/3

Vad är derivatan av $\displaystyle \ln(3x)$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här