Kapitel 2.3.1: Skissa grafer med hjälp av derivata och asymptoter | Matematik 4

Bakgrund

Rationella funktioner, alltså kvoter av polynom, har ofta asymptoter: linjer som grafen närmar sig utan att nå. Asymptoterna tillsammans med derivatans teckentabell ger en tydlig bild av grafen.

Teori

Typ	Hur den hittas
Lodrät asymptot $\displaystyle x=a$	Nämnaren är noll i $\displaystyle a$ men inte täljaren
Vågrät asymptot $\displaystyle y=b$	$\displaystyle f(x)\to b$ när $\displaystyle x\to\pm\infty$
Sned asymptot $\displaystyle y=kx+m$	$\displaystyle f(x)-(kx+m)\to0$ när $\displaystyle x\to\pm\infty$

För att hitta en vågrät asymptot till en kvot av polynom dividerar man täljare och nämnare med den högsta potensen i nämnaren. En sned asymptot syns när funktionen kan skrivas som en linje plus en term som går mot noll.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Lodrät och vågrät asymptot

Uppgift: Bestäm asymptoterna och monotonin för $\displaystyle f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$ .

Exempel 2: Sned asymptot och extrempunkter

Uppgift: Skissa $\displaystyle f(x)=x+\dfrac{4}{x}$ .

Lösning

Steg 1. Lodrät asymptot där nämnaren är noll, och sned asymptot eftersom $\displaystyle \frac{4}{x}\to0$ .
$x=\nobreak 0,\qquad\allowbreak y=\nobreak x$
Steg 2. Derivera och sätt lika med noll.
$f'(x)=1-\nobreak \dfrac{4}{x^2}=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ x=\nobreak \pm\nobreak 2$
Steg 3. Funktionsvärden och teckentabell.
$f(-\nobreak 2)=\nobreak -\nobreak 4,\quad\allowbreak f(2)=\nobreak 4$

Svar: Maximum i $\displaystyle (-2;\ -4)$ och minimum i $\displaystyle (2;\ 4)$ . Grafen närmar sig linjen $\displaystyle y=x$ och y-axeln.

Teckentabell för exempel 2

$\displaystyle x$	$\displaystyle x<-2$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle -2<x<0$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 0<x<2$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle x>2$
$\displaystyle f'(x)$	$\displaystyle +$ positiv	$\displaystyle 0$ noll	$\displaystyle -$ negativ	ej def.	$\displaystyle -$ negativ	$\displaystyle 0$ noll	$\displaystyle +$ positiv
$\displaystyle f(x)$	växer	max	avtar	asymptot	avtar	min	växer

$\displaystyle x<-2$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle +$ positiv
- $\displaystyle f(x)$ : växer
$\displaystyle -2$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle 0$ noll
- $\displaystyle f(x)$ : max
$\displaystyle -2<x<0$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle -$ negativ
- $\displaystyle f(x)$ : avtar
$\displaystyle 0$
- $\displaystyle f'(x)$ : ej def.
- $\displaystyle f(x)$ : asymptot
$\displaystyle 0<x<2$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle -$ negativ
- $\displaystyle f(x)$ : avtar
$\displaystyle 2$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle 0$ noll
- $\displaystyle f(x)$ : min
$\displaystyle x>2$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle +$ positiv
- $\displaystyle f(x)$ : växer

Interaktiva funktioner

Funktionen x plus a delat med x

Ändra $\displaystyle a$ i $\displaystyle f(x)=x+\frac{a}{x}$ . Extrempunkterna ligger där $\displaystyle x=\pm\sqrt{a}$ .

Konstant: $\displaystyle a=4$

\text{max i }(-\nobreak 2;\ -\nobreak 4),\quad\allowbreak \text{min i }(2;\ 4)

Grafen med den sneda asymptoten

Lodrät axel: y

−8−5−201248−8−7−6−5−4−3−2−1012345678

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=x+\dfrac{4}{x}$
Streckad: $\displaystyle y=x$

Lodrät streckad hjälplinje: $\displaystyle x=0$ .

Markerade punkter (ungefär):

Maximum: (−2; −4)
Minimum: (2; 4)

Vanliga misstag

Att tro att grafen aldrig kan korsa en vågrät eller sned asymptot. Det kan den, asymptoten beskriver beteendet långt ut.
Att missa att derivatans tecken kan ändras vid en lodrät asymptot utan att det finns en extrempunkt där.
Att kalla ett hål i grafen för asymptot när faktorn kan förkortas bort.

Vanliga frågor

Tips för asymptoter

Viktigt att tänka på

Rita asymptoterna streckade först.
Undersök tecknet på funktionen nära en lodrät asymptot för att se om grafen går uppåt eller nedåt.

Testa dig själv: Derivata och asymptoter1/3

Vilken lodrät asymptot har $\displaystyle f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här