Gymnasiet

Ma4

Kapitel 2

Derivata: Tangens lutning, derivatans definition, förstaderivata, andraderivata

Kapitlet ger derivator för trigonometriska funktioner och logaritmer samt reglerna för sammansatta funktioner, produkter och kvoter.

På den här sidan

Bakgrund

I Matematik 3 deriverade du polynom och exponentialfunktioner. I Matematik 4 kommer trigonometriska funktioner och logaritmer till, och framför allt regler för sammansatta funktioner, produkter och kvoter. Med dem kan nästan alla funktioner i kursen deriveras, och derivatan kan användas för att skissa och analysera grafer.

Teori

Grundläggande derivator

Funktion	Derivata
$\displaystyle x^n$	$\displaystyle nx^{n-1}$
$\displaystyle \sin x$	$\displaystyle \cos x$
$\displaystyle \cos x$	$\displaystyle -\sin x$
$\displaystyle e^x$	$\displaystyle e^x$
$\displaystyle \ln x$	$\displaystyle \frac{1}{x}$

Deriveringsregler

\text{Kedjeregeln: }\ \big(f(g(x))\big)'=f'(g(x))\cdot\nobreak g'(x)

\text{Produktregeln: }\ (fg)'=\nobreak f'g+\nobreak fg'

\text{Kvotregeln: }\ \left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-\nobreak fg'}{g^2}

Derivatan $\displaystyle f'(a)$ är lutningen hos tangenten i punkten där $\displaystyle x=a$ . Teckenväxlingar i derivatan visar var grafen har maximi- och minimipunkter.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Kedjeregeln

Uppgift: Derivera $\displaystyle f(x)=e^{3x}+\cos2x$ .

Exempel 2: Produktregeln

Uppgift: Derivera $\displaystyle g(x)=x^2\sin x$ .

Exempel 3: Logaritm och kedjeregel

Uppgift: Derivera $\displaystyle h(x)=\ln(x^2+1)$ .

Interaktiva funktioner

Tangenten till sinuskurvan

Flytta punkten. Tangentens lutning är $\displaystyle \cos a$ .

Punktens x-värde: $\displaystyle a=1$

f'(1)=\cos1\approx\nobreak 0{,}54

y\approx0{,}54x+\nobreak 0{,}301

Sinuskurvan och tangenten i den valda punkten

Lodrät axel: y

\displaystyle 0

\displaystyle \pi/2

\displaystyle \pi

\displaystyle 3\pi/2

\displaystyle 2\pi

−2−1012

Vågrät axel: x

Rutlinjerna på x-axeln visar de markerade värdena. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=\sin x$
Streckad: Tangent

Markerade punkter (ungefär):

Tangeringspunkt: (1; 0,8415)

Lutningen är positiv, så sinus växer här.

Vanliga misstag

Att glömma den inre derivatan i kedjeregeln.
Att derivera en produkt som produkten av derivatorna.
Att ge $\displaystyle \cos x$ derivatan $\displaystyle \sin x$ . Den ska vara $\displaystyle -\sin x$ .
Att räkna med grader. Derivatorna av sinus och cosinus gäller i radianer.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra derivata

Viktigt att tänka på

Identifiera yttre och inre funktion innan du deriverar.
Skriv ut varje del av produktregeln för sig.
Kontrollera derivatan grafiskt eller med räknarens numeriska derivata.

Testa dig själv: Derivata1/3

Vad är derivatan av $\displaystyle f(x)=\sin3x$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här