Gymnasiet

Ma4

Kapitel 2.3.2

Dominerande termer

Den dominerande termen bestämmer hur en funktion beter sig för stora x. Här lär du dig känna igen den och bestämma gränsvärden.

På den här sidan

Bakgrund

När $\displaystyle x$ blir mycket stort är det ofta en enda term som bestämmer hur en funktion beter sig. Den kallas den dominerande termen. Genom att känna igen den kan du snabbt avgöra gränsvärden, asymptoter och hur grafen ser ut långt ut.

Teori

Polynom

För stora $\displaystyle x$ dominerar termen med högst grad. Till exempel uppför sig $\displaystyle 2x^3-50x^2+7$ som $\displaystyle 2x^3$ .

Ordning mellan funktionstyper

När $\displaystyle x\to\infty$ växer funktionerna i följande ordning, från långsammast till snabbast:

\ln x\ \ll\ x^p\ \ll\ a^x\qquad(p>\nobreak 0,\ \allowbreak a>\nobreak 1)

Det betyder till exempel att $\displaystyle \frac{x^{10}}{e^x}\to0$ och $\displaystyle \frac{\ln x}{\sqrt{x}}\to0$ .

Kvoter av polynom

\lim_{x\to\nobreak \infty}\dfrac{a_nx^n+\nobreak \dots}{b_mx^m+\nobreak \dots}=\begin{cases}0,&n<\nobreak m\\ \dfrac{a_n}{b_m},&n=\nobreak m\\ \pm\nobreak \infty,&n>\nobreak m\end{cases}

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Kvot av polynom

Uppgift: Bestäm $\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+x}{x^2-5}$ .

Exempel 2: Potens mot exponential

Uppgift: Hur beter sig $\displaystyle f(x)=x^2e^{-x}$ när $\displaystyle x\to\infty$ ?

Exempel 3: Logaritm mot potens

Uppgift: Bestäm $\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\ln x}{x}$ .

Interaktiva funktioner

Potens mot exponentialfunktion

Jämför $\displaystyle x^n$ med $\displaystyle e^x$ . Kvoten blir till slut liten även för stora $\displaystyle n$ .

Exponent: $\displaystyle n=3$

x-värde: $\displaystyle x=10$

\dfrac{x^{3}}{e^x}=\dfrac{10^{3}}{e^{10}}\approx\nobreak 0{,}045

Exponentialfunktionen har gått om potensen.

Vanliga misstag

Att dra slutsatser från små x-värden. Dominansen gäller när x är tillräckligt stort.
Att glömma koefficienterna när graderna är lika: kvoten blir koefficienternas kvot.
Att tro att $\displaystyle \infty-\infty=0$ . Det beror på vilken term som dominerar.

Vanliga frågor

Tips för dominerande termer

Viktigt att tänka på

Dividera med den högsta potensen i nämnaren.
Kom ihåg ordningen logaritm, potens, exponential.

Testa dig själv: Dominerande termer1/3

Vad är gränsvärdet av $\displaystyle \dfrac{3x^2+x}{x^2-5}$ när $\displaystyle x\to\infty$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här