Kapitel 3.7: Rotationsvolymer | Matematik 4

Bakgrund

När ett område roterar kring en axel bildas en rotationskropp, till exempel en vas, en kon eller ett klot. Volymen kan beräknas genom att dela kroppen i tunna cirkelskivor och summera deras volymer med en integral.

Teori

Rotation kring x-axeln

En tunn skiva vid $\displaystyle x$ har radien $\displaystyle f(x)$ och tjockleken $\displaystyle dx$ . Dess volym är $\displaystyle \pi\big(f(x)\big)^2\,dx$ . Summera:

V=\pi\int_a^b\big(f(x)\big)^2\,dx

Rotation kring y-axeln

Om kurvan skrivs som $\displaystyle x=g(y)$ blir skivorna vågräta:

V=\pi\int_c^d\big(g(y)\big)^2\,dy

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Rotationsparaboloid

Uppgift: Området under $\displaystyle y=\sqrt{x}$ för $\displaystyle 0\le x\le4$ roterar kring x-axeln. Beräkna volymen.

Exempel 2: Klotets volym

Uppgift: Visa att ett klot med radien $\displaystyle r$ har volymen $\displaystyle \frac{4\pi r^3}{3}$ .

Exempel 3: Rotation kring y-axeln

Uppgift: Området mellan $\displaystyle y=x^2$ , y-axeln och linjen $\displaystyle y=4$ roterar kring y-axeln. Beräkna volymen.

Interaktiva funktioner

Volymen växer med längden

Rotera $\displaystyle y=\sqrt{x}$ kring x-axeln från 0 till $\displaystyle b$ . Volymen är $\displaystyle \frac{\pi b^2}{2}$ .

Längd: $\displaystyle b=4$

V=\pi\int_0^{4}x\,dx=\dfrac{\pi\cdot\nobreak 4^2}{2}\approx\nobreak 25{,}13

Jämför med en cylinder med samma längd och radie $\displaystyle \sqrt{b}$ : dess volym är $\displaystyle \pi b^2$ , alltså dubbelt så stor.

Genomskärning av rotationskroppen

Lodrät axel: y

0123456−3−2−10123

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=\sqrt{x}$
Streckad: $\displaystyle y=-\sqrt{x}$

Skuggat område från $\displaystyle x=0$ till $\displaystyle x=4$ .

Vanliga misstag

Att glömma kvadraten på funktionen.
Att glömma faktorn $\displaystyle \pi$ .
Att integrera i x när kroppen roterar kring y-axeln.

Vanliga frågor

Tips för rotationsvolymer

Viktigt att tänka på

Rita området och axeln det roterar kring.
Skriv upp skivans radie innan du ställer upp integralen.

Testa dig själv: Rotationsvolymer1/3

Vilken volym får kroppen när $\displaystyle y=\sqrt{x}$ , $\displaystyle 0\le x\le4$ , roterar kring x-axeln?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i integraler för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här