Gymnasiet

Ma4

Kapitel 4

Komplexa tal

Komplexa tal gör att alla polynomekvationer får lösningar. Kapitlet behandlar räkning, talplanet, polär form och ekvationer.

På den här sidan

Bakgrund

Ekvationen $\displaystyle x^2=-1$ saknar reella lösningar. Genom att införa ett nytt tal $\displaystyle i$ med $\displaystyle i^2=-1$ får alla polynomekvationer lösningar. De komplexa talen används i elektroteknik, signalbehandling och kvantfysik, och de ger en ny geometrisk bild av multiplikation som rotation.

Teori

Rektangulär form

z=\nobreak a+\nobreak bi,\qquad\allowbreak \operatorname{Re}z=\nobreak a,\quad\allowbreak \operatorname{Im}z=\nobreak b

Talet ritas som punkten $\displaystyle (a;\ b)$ i det komplexa talplanet, med realdelen på den vågräta axeln och imaginärdelen på den lodräta.

Konjugat och absolutbelopp

\bar z=\nobreak a-\nobreak bi,\qquad\allowbreak |z|=\sqrt{a^2+\nobreak b^2},\qquad\allowbreak z\bar z=\nobreak |z|^2

Polär form

z=r(\cos v+\nobreak i\sin v)=\nobreak re^{iv},\qquad\allowbreak r=\nobreak |z|,\quad\allowbreak v=\nobreak \arg z

Vid multiplikation multipliceras beloppen och argumenten adderas. Det gör potenser och rötter enkla, vilket de senare avsnitten visar.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Multiplikation

Uppgift: Beräkna $\displaystyle (2+3i)(1-i)$ .

Exempel 2: Andragradsekvation med komplexa rötter

Uppgift: Lös $\displaystyle x^2+2x+5=0$ .

Interaktiva funktioner

Ett komplext tal och dess konjugat

Välj real- och imaginärdel. Konjugatet är spegelbilden i den reella axeln.

Realdel: $\displaystyle a=3$

Imaginärdel: $\displaystyle b=2$

z=\nobreak 3+\nobreak 2i,\quad\allowbreak \bar z=\nobreak 3-\nobreak 2i,\quad\allowbreak |z|=\sqrt{3^2+\nobreak 2^2}\approx\nobreak 3{,}61

\arg z\approx33{,}7^\circ

Talet och konjugatet i talplanet

-4-2024-4i-2i02i4iReIm

\displaystyle z

\displaystyle \bar z

$\displaystyle z$ : $\displaystyle 3+2i$
$\displaystyle \bar z$ : $\displaystyle 3-2i$

Vanliga misstag

Att glömma att $\displaystyle i^2=-1$ när parenteser multipliceras.
Att skriva $\displaystyle \sqrt{-4}=-2$ . Det rätta är $\displaystyle 2i$ .
Att blanda ihop konjugat och motsatt tal.

Vanliga frågor

Tips för komplexa tal

Viktigt att tänka på

Räkna som med vanliga parenteser och byt ut i i kvadrat mot minus ett.
Rita talen i talplanet, det ger ofta en geometrisk förklaring.

Testa dig själv: Komplexa tal1/3

Vad är $\displaystyle i^2$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här