Rotation i polär form

Multiplikation med ett tal på enhetscirkeln vrider ett komplext tal kring origo. Här används det för rotationer.

På den här sidan

Bakgrund

Ett komplext tal med beloppet 1 ligger på enhetscirkeln. Att multiplicera med ett sådant tal vrider punkten kring origo utan att ändra avståndet. Det gör komplexa tal till ett effektivt verktyg för rotationer i datorgrafik, robotik och fysik.

Teori

Vridning med vinkeln $\displaystyle v$ moturs kring origo:

z\mapsto z\,(\cos v+\nobreak i\sin v)

I koordinater blir punkten $\displaystyle (a;\ b)$ efter vridningen

(a\cos v-\nobreak b\sin v;\ a\sin v+\nobreak b\cos v)

För att vrida kring en annan punkt $\displaystyle c$ flyttar man först $\displaystyle c$ till origo, vrider och flyttar tillbaka: $\displaystyle z\mapsto(z-c)(\cos v+i\sin v)+c$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Vridning kring origo

Uppgift: Vrid $\displaystyle z=2$ med $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ moturs.

Exempel 2: Liksidig triangel

Uppgift: Två hörn i en liksidig triangel är $\displaystyle 0$ och $\displaystyle 4$ . Bestäm det tredje hörnet ovanför den reella axeln.

Interaktiva funktioner

Vrid ett tal

Vinkeln väljs i steg om $\displaystyle \frac{\pi}{12}$ . Det vridna talet ligger på samma cirkel.

Realdel: $\displaystyle a=3$

Imaginärdel: $\displaystyle b=1$

Vridning: $\displaystyle v=4\cdot\dfrac{\pi}{12}$

(3+i)\left(\cos(\dfrac{\pi}{3})+i\sin(\dfrac{\pi}{3})\right)\approx0{,}63+\nobreak 3{,}1i

Talet före och efter vridningen

-4-2024-4i-2i02i4iReIm

\displaystyle z

Vridet

$\displaystyle z$ : $\displaystyle 3+i$
Vridet: $\displaystyle 0{,}63+3{,}1i$

Vanliga misstag

Att multiplicera med ett tal vars belopp inte är 1, så att punkten även flyttas utåt eller inåt.
Att glömma att flytta tillbaka vid vridning kring en annan punkt än origo.
Att vrida åt fel håll. Positiv vinkel betyder moturs.

Vanliga frågor

Tips för rotation

Viktigt att tänka på

Kontrollera att vridningstalet har beloppet 1.
Rita cirkeln genom punkten för att se att avståndet bevaras.

Testa dig själv: Rotation i polär form1/3

Med vilket tal multiplicerar man för att vrida $\displaystyle 60^\circ$ moturs?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här