Potenser och komplexa tal

I polär form upphöjs beloppet och argumentet multipliceras. Det gör höga potenser av komplexa tal enkla.

På den här sidan

Bakgrund

Att räkna ut $\displaystyle (1+i)^{10}$ genom att multiplicera parenteser är mödosamt. I polär form blir det enkelt: beloppet upphöjs och argumentet multipliceras. Det leder till de Moivres formel och Eulers formel, och till metoder för att lösa ekvationer som $\displaystyle z^3=8$ .

Teori

z=r(\cos v+\nobreak i\sin v)\ \Rightarrow\ z^n=r^n(\cos nv+\nobreak i\sin nv)

Med Eulers formel $\displaystyle e^{iv}=\cos v+i\sin v$ skrivs samma sak kort som $\displaystyle \big(re^{iv}\big)^n=r^ne^{inv}$ .

Om $\displaystyle r>1$ växer potenserna utåt i en spiral.
Om $\displaystyle r=1$ ligger alla potenser på enhetscirkeln.
Om $\displaystyle r<1$ går potenserna mot origo.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Hög potens

Uppgift: Beräkna $\displaystyle (1+i)^{10}$ .

Interaktiva funktioner

Potensernas spiral

Punkterna är $\displaystyle z^1,z^2,\dots,z^n$ . Argumentet väljs i steg om $\displaystyle \frac{\pi}{12}$ .

Belopp: $\displaystyle r=1{,}1$

Argument: $\displaystyle v=2\cdot\dfrac{\pi}{12}$

Högsta exponent: $\displaystyle n=6$

z^{6}=1{,}1^{6}\left(\cos(\pi)+\nobreak i\sin(\pi)\right)\approx\nobreak -\nobreak 1{,}77

Potenserna av z

-2-1012-2i-1i01i2iReIm

\displaystyle z^{6}

$\displaystyle 0{,}95+0{,}55i$
$\displaystyle 0{,}61+1{,}05i$
$\displaystyle 1{,}33i$
$\displaystyle -0{,}73+1{,}27i$
$\displaystyle -1{,}39+0{,}81i$
$\displaystyle z^{6}$ : $\displaystyle -1{,}77$

Vanliga misstag

Att multiplicera beloppet med n i stället för att upphöja det.
Att glömma att reducera argumentet med hela varv.

Vanliga frågor

Tips för potenser

Viktigt att tänka på

Skriv talet i polär form först.
Reducera argumentet till ett varv innan du går tillbaka till rektangulär form.

Testa dig själv: Potenser av komplexa tal1/3

Vad är $\displaystyle (1+i)^2$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här