Gymnasiet

Ma4

Kapitel 3.2

Primitiva funktioner

Primitiva funktioner är derivering baklänges. Här bestämmer du primitiva funktioner och använder villkor för att välja rätt konstant.

På den här sidan

Bakgrund

Att hitta en primitiv funktion är att derivera baklänges. Om derivatan är känd, till exempel en hastighet, ger den primitiva funktionen den ursprungliga storheten, till exempel läget. Konstanten $\displaystyle C$ bestäms av ett villkor, som ett startläge.

Teori

\int\sin kx\,dx=-\nobreak \dfrac{\cos kx}{k}+\nobreak C,\quad\allowbreak \int\cos kx\,dx=\dfrac{\sin kx}{k}+\nobreak C,\quad\allowbreak \int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+\nobreak C

\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+\nobreak 1}}{n+\nobreak 1}+\nobreak C\ (n\neq\nobreak -\nobreak 1),\qquad\allowbreak \int\dfrac{1}{x}\,dx=\nobreak \ln|x|+\nobreak C

Alla primitiva funktioner till samma funktion har parallella grafer: de är förskjutna lodrätt i förhållande till varandra. Ett villkor $\displaystyle F(a)=b$ väljer ut en av dem.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Blandad funktion

Uppgift: Bestäm en primitiv funktion till $\displaystyle f(x)=\cos2x+e^{-x}+\sqrt{x}$ .

Exempel 2: Villkor

Uppgift: Bestäm den primitiva funktion $\displaystyle F$ till $\displaystyle f(x)=\sin x$ som uppfyller $\displaystyle F(0)=3$ .

Exempel 3: Från hastighet till läge

Uppgift: En partikel har hastigheten $\displaystyle v(t)=6\cos2t$ m/s och befinner sig i läget 1 m när $\displaystyle t=0$ . Bestäm läget $\displaystyle s(t)$ .

Interaktiva funktioner

Familjen av primitiva funktioner

Alla $\displaystyle F(x)=-\cos x+C$ har derivatan $\displaystyle \sin x$ . Ändra $\displaystyle C$ .

Konstant: $\displaystyle C=0$

F(x)=\nobreak -\nobreak \cos x,\qquad\allowbreak F(0)=\nobreak -\nobreak 1

Den valda primitiva funktionen och funktionen sinus

Lodrät axel: y

\displaystyle 0

\displaystyle \pi/2

\displaystyle \pi

\displaystyle 3\pi/2

\displaystyle 2\pi

−3−2−1012345

Vågrät axel: x

Rutlinjerna på x-axeln visar de markerade värdena. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=-\cos x$
Streckad: $\displaystyle y=\sin x$

Vanliga misstag

Att glömma att dela med faktorn framför x vid integrering av exponential- och trigonometriska funktioner.
Att bestämma C innan alla termer har integrerats.
Att få fel tecken för $\displaystyle \int\sin x\,dx$ .

Vanliga frågor

Tips för primitiva funktioner

Viktigt att tänka på

Kontrollera svaret genom att derivera.
Skriv om rötter och bråk som potenser först.

Testa dig själv: Primitiva funktioner1/3

Vad är en primitiv funktion till $\displaystyle \sin2x$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i integraler för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här