Gymnasiet

Ma4

Kapitel 3.1

Bestämda och obestämda integraler

Den bestämda integralen är ett gränsvärde av rektangelsummor och den obestämda integralen alla primitiva funktioner. Här kopplas de ihop.

På den här sidan

Bakgrund

Integraltecknet är ett utdraget S, för summa. En bestämd integral är gränsvärdet av en summa av mycket smala rektanglar under en kurva. En obestämd integral är i stället samlingen av alla primitiva funktioner. Fundamentalsatsen kopplar ihop de två.

Teori

Obestämd integral

\int f(x)\,dx=\nobreak F(x)+\nobreak C,\qquad\allowbreak F'(x)=\nobreak f(x)

Bestämd integral som summa

Dela intervallet $\displaystyle [a;\ b]$ i $\displaystyle n$ delar med bredden $\displaystyle \Delta x$ . Summan av rektanglarnas areor närmar sig integralen när $\displaystyle n$ växer:

\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\nobreak \infty}\sum_{i=\nobreak 1}^{n}f(x_i)\,\Delta x

Räkneregler

\int_a^b\big(kf+\nobreak g\big)\,dx=k\int_a^bf\,dx+\int_a^bg\,dx,\qquad\allowbreak \int_a^bf\,dx=\int_a^cf\,dx+\int_c^bf\,dx,\qquad\allowbreak \int_b^af\,dx=-\nobreak \int_a^bf\,dx

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Bestämd integral

Uppgift: Beräkna $\displaystyle \displaystyle\int_0^2x^2\,dx$ .

Exempel 2: Dela upp intervallet

Uppgift: Beräkna $\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{2}|x|\,dx$ .

Exempel 3: Obestämd integral

Uppgift: Bestäm $\displaystyle \displaystyle\int\left(e^{2x}+\cos3x\right)dx$ .

Interaktiva funktioner

Rektangelsummor

Arean under $\displaystyle y=x^2$ från 0 till 2 uppskattas med $\displaystyle n$ rektanglar.

Antal rektanglar: $\displaystyle n=4$

\text{undersumma}\approx\nobreak 1{,}75,\quad\allowbreak \text{översumma}\approx\nobreak 3{,}75,\quad\allowbreak \int_0^2x^2\,dx=\dfrac{8}{3}\approx\nobreak 2{,}6667

Kurvan och rektanglarna i undersumman

Lodrät axel: y

01201234

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=x^2$
Streckad: Rektanglarnas höjd

Skuggat område: undersumman, från $\displaystyle x=0$ till $\displaystyle x=2$ .

Vanliga misstag

Att glömma $\displaystyle C$ i en obestämd integral.
Att räkna $\displaystyle F(a)-F(b)$ i stället för $\displaystyle F(b)-F(a)$ .
Att integrera ett absolutbelopp utan att dela upp intervallet.

Vanliga frågor

Tips för integraler

Viktigt att tänka på

Skriv ut den primitiva funktionen inom hakparentes innan du sätter in gränserna.
Rita en skiss för att se om svaret är rimligt.

Testa dig själv: Bestämda och obestämda integraler1/3

Vad är $\displaystyle \displaystyle\int_a^a f(x)\,dx$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i integraler för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här