Integration med substitution

Lösning

1. Steg 1. Sätt $\displaystyle u=x^2+1$. Då är $\displaystyle du=2x\,dx$.

   $$\int u^3\,du=\dfrac{u^4}{4}+\nobreak C$$

2. Steg 2. Byt tillbaka.

   $$\dfrac{(x^2+\nobreak 1)^4}{4}+\nobreak C$$

Svar: $\displaystyle \frac{(x^2+1)^4}{4}+C$. Kontroll med kedjeregeln: derivatan blir $\displaystyle (x^2+1)^3\cdot2x$.

Lösning

1. Steg 1. Täljaren är derivatan av nämnaren. Sätt $\displaystyle u=x^2+1$.

   $$\int\dfrac{du}{u}=\nobreak \ln|u|+\nobreak C$$

Svar: $\displaystyle \ln(x^2+1)+C$. Absolutbeloppet behövs inte eftersom $\displaystyle x^2+1>0$.

Lösning

1. Steg 1. Sätt $\displaystyle u=x^2$. Då är $\displaystyle du=2x\,dx$, alltså $\displaystyle x\,dx=\frac{du}{2}$. Gränserna blir $\displaystyle u=0$ och $\displaystyle u=1$.

   $$\int_0^1\dfrac{e^u}{2}\,du$$

2. Steg 2. Beräkna.

   $$\left[\dfrac{e^u}{2}\right]_0^1=\dfrac{e-\nobreak 1}{2}\approx\nobreak 0{,}859$$

Svar: $\displaystyle \frac{e-1}{2}\approx0{,}859$.