Eulers formel

Eulers formel kopplar ihop exponentialfunktionen med sinus och cosinus. Den gör att ett komplext tal kan skrivas kort som $\displaystyle re^{iv}$, och att räknereglerna för potenser direkt ger reglerna för multiplikation i polär form. Specialfallet $\displaystyle e^{i\pi}+1=0$ brukar kallas matematikens vackraste formel.

Talet $\displaystyle e^{iv}$ ligger på enhetscirkeln med argumentet $\displaystyle v$. Varje komplext tal kan skrivas

Potenslagarna ger då multiplikationsregeln direkt:

Varför formeln gäller visas med serieutveckling i högre kurser. En motivering i Ma4: funktionen $\displaystyle f(v)=\cos v+i\sin v$ har derivatan $\displaystyle if(v)$ och $\displaystyle f(0)=1$, precis som $\displaystyle e^{iv}$.

• Att tro att $\displaystyle e^{iv}$ kan ha ett annat belopp än 1 för reella $\displaystyle v$.
• Att använda grader i exponenten.