Polynomekvationer inom komplexa tal

Med komplexa tal har varje polynomekvation lösningar. Här ges en översikt över metoderna för att hitta dem.

På den här sidan

Bakgrund

Med komplexa tal har varje polynomekvation lösningar. Algebrans fundamentalsats säger att en ekvation av grad $\displaystyle n$ har exakt $\displaystyle n$ rötter, om multipla rötter räknas flera gånger. Kapitlet visar hur sådana ekvationer löses: med pq-formeln, polynomdivision och faktorsatsen.

Teori

Algebrans fundamentalsats: $\displaystyle p(z)=a_n(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n)$ .
Reella koefficienter: icke-reella rötter kommer i konjugatpar $\displaystyle a\pm bi$ .
Faktorsatsen: $\displaystyle p(a)=0$ precis när $\displaystyle z-a$ är en faktor i $\displaystyle p(z)$ .

Arbetsgång för en ekvation av högre grad: gissa en rot bland delarna till konstanttermen, dividera bort motsvarande faktor och lös den återstående ekvationen av lägre grad.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Tredjegradsekvation

Uppgift: Lös $\displaystyle x^3-1=0$ .

Interaktiva funktioner

Rötter till en andragradsekvation

Ekvationen $\displaystyle x^2+px+q=0$ . När diskriminanten är negativ blir rötterna komplexa konjugat.

$\displaystyle p=2$

$\displaystyle q=5$

\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-\nobreak q=\nobreak -\nobreak 4

x_1=\nobreak -\nobreak 1+\nobreak 2i,\qquad\allowbreak x_2=\nobreak -\nobreak 1-\nobreak 2i

Två komplexa rötter som är varandras konjugat.

Rötterna i talplanet

-3-2-10123-3i-2i-1i01i2i3iReIm

\displaystyle x_1

\displaystyle x_2

$\displaystyle x_1$ : $\displaystyle -1+2i$
$\displaystyle x_2$ : $\displaystyle -1-2i$

Vanliga misstag

Att tro att en ekvation utan reella rötter saknar lösningar.
Att glömma konjugatroten när koefficienterna är reella.
Att dividera med en faktor utan att kontrollera att den verkligen är en faktor.

Vanliga frågor

Tips för polynomekvationer

Viktigt att tänka på

Pröva enkla heltal som rötter först.
Kontrollera rötterna genom insättning.

Testa dig själv: Polynomekvationer1/3

Hur många komplexa rötter har en polynomekvation av grad 4, räknat med multiplicitet?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här