Andragradsekvationer

Med komplexa tal har varje andragradsekvation två lösningar. Här används pq-formeln och kvadratkomplettering även när diskriminanten är negativ.

På den här sidan

Bakgrund

pq-formeln fungerar även när talet under rottecknet är negativt. Roten skrivs då med $\displaystyle i$ , och ekvationen får två komplexa lösningar. Det är det första stället där komplexa tal behövs i gymnasiematematiken.

Teori

z^2+\nobreak pz+\nobreak q=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ z=-\nobreak \dfrac{p}{2}\pm\nobreak \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-\nobreak q}

Om $\displaystyle D=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q<0$ är $\displaystyle \sqrt{D}=i\sqrt{-D}$ , och rötterna blir $\displaystyle -\frac{p}{2}\pm i\sqrt{-D}$ .

Kvadratkomplettering fungerar också, även när koefficienterna är komplexa. Sambanden mellan rötter och koefficienter gäller som tidigare: $\displaystyle z_1+z_2=-p$ och $\displaystyle z_1z_2=q$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Komplexa rötter

Uppgift: Lös $\displaystyle z^2+4z+13=0$ .

Exempel 2: Komplexa koefficienter

Uppgift: Lös $\displaystyle z^2-2iz-5=0$ .

Interaktiva funktioner

pq-formeln med komplexa rötter

Välj $\displaystyle p$ och $\displaystyle q$ i $\displaystyle z^2+pz+q=0$ .

$\displaystyle p=4$

$\displaystyle q=13$

z=-\nobreak 2\pm\nobreak \sqrt{-\nobreak 9}=\nobreak -\nobreak 2\pm\nobreak 3i

z_1+\nobreak z_2=\nobreak -\nobreak 4=\nobreak -\nobreak p,\qquad\allowbreak z_1z_2=\nobreak 13=\nobreak q

Rötterna i talplanet

-4-2024-4i-2i02i4iReIm

\displaystyle z_1

\displaystyle z_2

$\displaystyle z_1$ : $\displaystyle -2+3i$
$\displaystyle z_2$ : $\displaystyle -2-3i$

Vanliga misstag

Att skriva $\displaystyle \sqrt{-9}=-3$ .
Att glömma att dela p med 2 i pq-formeln.
Att anta att rötterna är konjugat även när koefficienterna är komplexa.

Vanliga frågor

Tips för andragradsekvationer

Viktigt att tänka på

Räkna diskriminanten först.
Kontrollera med summan och produkten av rötterna.

Testa dig själv: Andragradsekvationer1/3

Vilka lösningar har $\displaystyle z^2+4z+13=0$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här