Kapitel 4.4.3: Ekvationen z^n = a | Matematik 4

Bakgrund

Bland de reella talen har $\displaystyle x^3=8$ bara lösningen 2. Bland de komplexa talen finns tre lösningar. Polär form gör det enkelt att hitta alla rötter till ekvationer av typen $\displaystyle z^n=a$ , och de bildar alltid en regelbunden månghörning.

Teori

Skriv $\displaystyle a=Re^{i\varphi}$ och sök $\displaystyle z=re^{iv}$ . Ekvationen $\displaystyle z^n=a$ blir

r^ne^{inv}=Re^{i\varphi}

Beloppen ska vara lika och argumenten lika så när som på hela varv:

r=\sqrt[n]{R},\qquad\allowbreak v=\dfrac{\varphi+\nobreak k\cdot\nobreak 2\pi}{n},\quad\allowbreak k=\nobreak 0,1,\dots,n-\nobreak 1

Det ger $\displaystyle n$ olika rötter. Med större $\displaystyle k$ upprepas de.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Tredje rötter ur 8

Uppgift: Lös $\displaystyle z^3=8$ .

Exempel 2: Kvadratrötter ur ett imaginärt tal

Uppgift: Lös $\displaystyle z^2=4i$ .

Interaktiva funktioner

Rötterna bildar en månghörning

Välj $\displaystyle n$ , beloppet $\displaystyle R$ och argumentet för högerledet $\displaystyle a=Re^{i\varphi}$ .

Exponent: $\displaystyle n=3$

Belopp av a: $\displaystyle R=8$

Argument av a: $\displaystyle \varphi=0\cdot\dfrac{\pi}{12}$

r=\sqrt[3]{8}\approx\nobreak 2,\qquad\allowbreak v_k=\dfrac{0+\nobreak k\cdot\nobreak 2\pi}{3}

De 3 rötterna på en cirkel med radien 2

-3-2-10123-3i-2i-1i01i2i3iReIm

\displaystyle z_{0}

\displaystyle z_{1}

\displaystyle z_{2}

$\displaystyle z_{0}$ : $\displaystyle 2$
$\displaystyle z_{1}$ : $\displaystyle -1+1{,}73i$
$\displaystyle z_{2}$ : $\displaystyle -1-1{,}73i$

Vanliga misstag

Att bara ange den reella roten.
Att dela beloppet med n i stället för att dra n-te roten.
Att glömma att dela hela argumentet, inklusive k gånger två pi, med n.

Vanliga frågor

Tips för ekvationen z upphöjt till n

Viktigt att tänka på

Skriv högerledet i polär form först.
Rita cirkeln och fördela rötterna jämnt.

Testa dig själv: Rötter ur komplexa tal1/3

Hur många lösningar har $\displaystyle z^5=1$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här