Polynomdivision

Polynom kan divideras med liggande stolen. Här används det för att faktorisera och för att se resten som ett funktionsvärde.

På den här sidan

Bakgrund

Polynom kan divideras med varandra på samma sätt som heltal divideras med liggande stolen. Polynomdivision används för att faktorisera polynom när en rot är känd, och för att skriva rationella funktioner som ett polynom plus en rest, vilket ger sneda asymptoter.

Teori

p(x)=q(x)\cdot\nobreak k(x)+\nobreak r(x),\qquad\allowbreak \operatorname{grad}r<\operatorname{grad}q

Här är $\displaystyle q(x)$ nämnaren, $\displaystyle k(x)$ kvoten och $\displaystyle r(x)$ resten. Metoden upprepar tre steg:

Dividera den högsta termen i täljaren med den högsta termen i nämnaren.
Multiplicera nämnaren med resultatet och dra bort produkten.
Fortsätt med det som blir kvar tills dess grad är lägre än nämnarens.

Restsatsen: vid division med $\displaystyle x-a$ är resten $\displaystyle p(a)$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Division utan rest

Uppgift: Dividera $\displaystyle x^3-2x^2-5x+6$ med $\displaystyle x-1$ .

Exempel 2: Division med rest

Uppgift: Dividera $\displaystyle x^2+3x+5$ med $\displaystyle x+1$ .

Interaktiva funktioner

Dividera med en linjär faktor

Polynomet $\displaystyle p(x)=x^3+bx^2+cx+d$ divideras med $\displaystyle x-a$ .

$\displaystyle b=-2$

$\displaystyle c=-5$

$\displaystyle d=6$

Nämnarens nollställe: $\displaystyle a=1$

\dfrac{x^{3}-\nobreak 2x^{2}-\nobreak 5x+\nobreak 6}{x-\nobreak 1}=x^{2}-\nobreak x-\nobreak 6

Resten är 0, så $\displaystyle x-1$ är en faktor och $\displaystyle x=1$ är en rot.

Vanliga misstag

Att glömma termer med koefficienten 0, till exempel en saknad x-term. Skriv ut dem som 0x.
Att få fel tecken när en produkt dras bort.
Att sluta för tidigt, innan restens grad är lägre än nämnarens.

Vanliga frågor

Tips för polynomdivision

Viktigt att tänka på

Ställ upp termerna i fallande grad.
Kontrollera genom att multiplicera kvoten med nämnaren och lägga till resten.

Testa dig själv: Polynomdivision1/3

Vad blir $\displaystyle \dfrac{x^2-5x+6}{x-2}$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här