Gymnasiet
Ma4
Kapitel 4.5.3

Faktorsatsen

Faktorsatsen säger att varje rot ger en förstagradsfaktor. Här används den för att faktorisera och lösa ekvationer.

På den här sidan

Bakgrund

Faktorsatsen kopplar ihop rötter och faktorer. Om ett tal är en rot, så finns motsvarande förstagradsfaktor i polynomet. Det gör att en ekvation av hög grad kan brytas ned steg för steg, så snart en rot har hittats.

Teori

Faktorsatsen

p(a)=0 ⇔ (x−a) a¨r en faktor i p(x)p(a)=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ (x-a)\text{ är en faktor i }p(x)

Satsen följer av restsatsen: resten vid division med x−a\displaystyle x-a är p(a)\displaystyle p(a), och faktorn går jämnt upp precis när resten är noll.

Att hitta en första rot: om polynomet har heltalskoefficienter och den ledande koefficienten är 1, är varje heltalsrot en delare till konstanttermen. Pröva dem en i taget.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Lös en tredjegradsekvation

Uppgift: Lös x3−6x2+11x−6=0\displaystyle x^3-6x^2+11x-6=0.

Exempel 2: Bestäm en konstant

Uppgift: Bestäm k\displaystyle k så att x+2\displaystyle x+2 är en faktor i p(x)=x3+kx2−4\displaystyle p(x)=x^3+kx^2-4.

Interaktiva funktioner

Pröva kandidater

Polynomet p(x)=x3−6x2+11x−6\displaystyle p(x)=x^3-6x^2+11x-6. Pröva delarna till 6.

p(1)=0p(1)=\nobreak 0p(x)=(x−1)(x2−5x+6)p(x)=(x-\nobreak 1)(x^{2}-\nobreak 5x+\nobreak 6)
Grafen till polynomet
Lodrät axel: y
−1012345−6−5−4−3−2−10123456

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

  • Heldragen: y=x3−6x2+11x−6\displaystyle y=x^3-6x^2+11x-6

Markerade punkter (ungefär):

  • Nollställe: (1; 0)
  • Nollställe: (2; 0)
  • Nollställe: (3; 0)

Vanliga misstag

  • Att använda x+a\displaystyle x+a som faktor när a\displaystyle a är roten. Faktorn är x−a\displaystyle x-a.
  • Att pröva kandidater som inte delar konstanttermen.
  • Att sluta efter första roten utan att lösa den återstående faktorn.

Vanliga frågor

Tips för faktorsatsen

Viktigt att tänka på

  • Börja med att pröva 1 och -1.
  • Använd polynomdivision för att få resten av faktoriseringen.

Testa dig själv: Faktorsatsen1/3

Är x−2\displaystyle x-2 en faktor i x3−3x2+4\displaystyle x^3-3x^2+4?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Aktivera JavaScript för att använda formulär och interaktiva verktyg. Sidans innehåll och länkar kan läsas utan JavaScript.