Gymnasiet

Ma4

Kapitel 3.2.2

Partiell integration

Partiell integration är produktregeln baklänges. Här lär du dig välja faktorer och beräkna integraler av produkter.

På den här sidan

Bakgrund

Partiell integration är produktregeln baklänges. Den används när integranden är en produkt av två funktioner av olika typ, till exempel $\displaystyle xe^x$ eller $\displaystyle x\sin x$ . Tanken är att flytta derivatan från en faktor till en annan så att integralen blir enklare.

Teori

\int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx

Formeln fås genom att integrera produktregeln $\displaystyle (fg)'=f'g+fg'$ . Välj $\displaystyle f$ som den faktor som blir enklare när den deriveras, till exempel ett polynom eller en logaritm, och $\displaystyle g'$ som den som är lätt att integrera.

\int_a^bf\,g'\,dx=\big[fg\big]_a^b-\int_a^bf'g\,dx

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Polynom gånger exponentialfunktion

Uppgift: Bestäm $\displaystyle \displaystyle\int xe^x\,dx$ .

Exempel 2: Bestämd integral

Uppgift: Beräkna $\displaystyle \displaystyle\int_0^{\pi}x\sin x\,dx$ .

Exempel 3: Logaritmen

Uppgift: Bestäm $\displaystyle \displaystyle\int\ln x\,dx$ .

Interaktiva funktioner

Integralen av x sin x

Partiell integration ger $\displaystyle \int_0^bx\sin x\,dx=\sin b-b\cos b$ .

Övre gräns: $\displaystyle b=3{,}1$

\int_0^{3{,}1}x\sin x\,dx=\sin3{,}1-\nobreak 3{,}1\cos3{,}1\approx\nobreak 3{,}1416

Kurvan ligger ovanför x-axeln, så integralen är arean under kurvan.

Kurvan och integralens område

Lodrät axel: y

\displaystyle 0

\displaystyle \pi/2

\displaystyle \pi

\displaystyle 3\pi/2

\displaystyle 2\pi

−5−4−3−2−10123

Vågrät axel: x

Rutlinjerna på x-axeln visar de markerade värdena. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=x\sin x$

Skuggat område från $\displaystyle x=0$ till $\displaystyle x=3{,}142$ .

Vanliga misstag

Att välja fel faktor att derivera, så att den nya integralen blir svårare.
Att glömma minustecknet framför den nya integralen.
Att glömma sätta in gränserna i den första termen vid bestämda integraler.

Vanliga frågor

Tips för partiell integration

Viktigt att tänka på

Skriv ut $\displaystyle f$ , $\displaystyle f'$ , $\displaystyle g$ och $\displaystyle g'$ innan du använder formeln.
Kontrollera svaret genom att derivera.

Testa dig själv: Partiell integration1/3

Vad är $\displaystyle \int xe^x\,dx$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i integraler för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här