Arean under kurvor

Lösning

1. Steg 1. Gränserna är nollställena.

   $$4-\nobreak x^2=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ x=\nobreak \pm\nobreak 2$$

2. Steg 2. Kurvan ligger ovanför x-axeln mellan dem.

   $$A=\int_{-\nobreak 2}^{2}(4-\nobreak x^2)\,dx=\left[4x-\nobreak \dfrac{x^3}{3}\right]_{-\nobreak 2}^{2}$$

3. Steg 3. Beräkna.

   $$\left(8-\nobreak \dfrac{8}{3}\right)-\nobreak \left(-\nobreak 8+\nobreak \dfrac{8}{3}\right)=16-\nobreak \dfrac{16}{3}=\dfrac{32}{3}$$

Svar: $\displaystyle \frac{32}{3}\approx10{,}7$ areaenheter.

Lösning

1. Steg 1. Sträckan är arean under hastighetskurvan.

   $$s=\int_0^420(1-e^{-\nobreak 0{,}5t})\,dt=20\left[t+\nobreak 2e^{-\nobreak 0{,}5t}\right]_0^4$$

2. Steg 2. Beräkna.

   $$20\big((4+2e^{-\nobreak 2})-(0+2)\big)=20(2+\nobreak 2e^{-\nobreak 2})\approx\nobreak 45{,}4$$

Svar: Bilen kör ungefär 45 m.