Kapitel 4.3.2: Multiplikation och division i polär form | Matematik 4

Bakgrund

I polär form har multiplikation en enkel geometrisk betydelse: beloppen multipliceras och argumenten adderas. Att multiplicera med ett komplext tal är alltså att förstora och vrida på samma gång.

Teori

Om $\displaystyle z=r_1(\cos v_1+i\sin v_1)$ och $\displaystyle w=r_2(\cos v_2+i\sin v_2)$ gäller

zw=r_1r_2\big(\cos(v_1+v_2)+i\sin(v_1+v_2)\big)

\dfrac{z}{w}=\dfrac{r_1}{r_2}\big(\cos(v_1-v_2)+i\sin(v_1-v_2)\big)

Det visas genom att multiplicera ut och använda additionsformlerna för sinus och cosinus.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Multiplikation

Uppgift: Beräkna $\displaystyle zw$ där $\displaystyle z=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)$ och $\displaystyle w=3\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$ .

Exempel 2: Division

Uppgift: Beräkna $\displaystyle \frac{z}{w}$ där $\displaystyle z=8\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)$ och $\displaystyle w=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$ .

Interaktiva funktioner

Multiplikation som förstoring och vridning

Argumenten väljs i steg om $\displaystyle \frac{\pi}{12}$ .

Belopp av z: $\displaystyle |z|=2$

Argument av z: $\displaystyle \arg z=2\cdot\dfrac{\pi}{12}$

Belopp av w: $\displaystyle |w|=1{,}5$

Argument av w: $\displaystyle \arg w=4\cdot\dfrac{\pi}{12}$

zw=3\big(\cos(\dfrac{\pi}{2})+i\sin(\dfrac{\pi}{2})\big)\approx\nobreak 3i

Produkten

-4-2024-4i-2i02i4iReIm

\displaystyle z

\displaystyle w

\displaystyle zw

$\displaystyle z$ : $\displaystyle 1{,}73+i$
$\displaystyle w$ : $\displaystyle 0{,}75+1{,}3i$
$\displaystyle zw$ : $\displaystyle 3i$

Vanliga misstag

Att multiplicera argumenten i stället för att addera dem.
Att subtrahera argumenten i fel ordning vid division.
Att glömma att ett argument kan behöva justeras med hela varv.

Vanliga frågor

Tips för multiplikation i polär form

Viktigt att tänka på

Multiplicera beloppen, addera argumenten.
Dividera beloppen, subtrahera argumenten.

Testa dig själv: Multiplikation i polär form1/3

Vad blir $\displaystyle zw$ om $\displaystyle |z|=2$ , $\displaystyle \arg z=\frac{\pi}{6}$ , $\displaystyle |w|=3$ och $\displaystyle \arg w=\frac{\pi}{3}$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här