Gymnasiet
Ma4
Kapitel 4.3.1

Addition och subtraktion i polär form

Addition av tal i polär form görs via rektangulär form. Geometriskt är summan diagonalen i ett parallellogram.

På den här sidan

Bakgrund

Polär form gör multiplikation enkel, men addition blir svårare. Belopp och argument för en summa kan inte räknas ut direkt ur beloppen och argumenten för termerna. Man går därför via rektangulär form.

Teori

  1. Skriv om båda talen i rektangulär form med a=rcos⁡v\displaystyle a=r\cos v och b=rsin⁡v\displaystyle b=r\sin v.
  2. Addera eller subtrahera realdelar och imaginärdelar var för sig.
  3. Skriv vid behov om resultatet i polär form igen.

Geometriskt är summan diagonalen i parallellogrammet. Därför gäller triangelolikheten:

∣z+w∣≤∣z∣+∣w∣|z+\nobreak w|\le\nobreak |z|+\nobreak |w|

Likhet gäller bara när talen har samma argument.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Summa av två tal i polär form

Uppgift: Beräkna z+w\displaystyle z+w där z=2(cos⁡0+isin⁡0)\displaystyle z=2(\cos0+i\sin0) och w=2(cos⁡π2+isin⁡π2)\displaystyle w=2\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right). Svara i polär form.

Exempel 2: Två krafter

Uppgift: Två krafter på 30 N och 40 N verkar i riktningarna 0∘\displaystyle 0^\circ och 60∘\displaystyle 60^\circ. Hur stor är den sammanlagda kraften?

Interaktiva funktioner

Summa av två tal i polär form

Argumenten väljs i steg om π12\displaystyle \frac{\pi}{12}.

Belopp av z: ∣z∣=3\displaystyle |z|=3

Argument av z: arg⁡z=0⋅π12\displaystyle \arg z=0\cdot\dfrac{\pi}{12}

Belopp av w: ∣w∣=4\displaystyle |w|=4

Argument av w: arg⁡w=6⋅π12\displaystyle \arg w=6\cdot\dfrac{\pi}{12}

z+w≈(3)+(4i)=3+4iz+\nobreak w\approx\nobreak (3)+\nobreak (4i)=\nobreak 3+\nobreak 4i∣z+w∣≈5≤∣z∣+∣w∣=7|z+\nobreak w|\approx5\le\nobreak |z|+\nobreak |w|=\nobreak 7
Summan som diagonal i parallellogrammet
-8-4048-8i-4i04i8iReImz\displaystyle zw\displaystyle wz+w\displaystyle z+w
  • z\displaystyle z: 3\displaystyle 3
  • w\displaystyle w: 4i\displaystyle 4i
  • z+w\displaystyle z+w: 3+4i\displaystyle 3+4i

Vanliga misstag

  • Att addera beloppen och argumenten.
  • Att avrunda för tidigt i omvandlingen till rektangulär form.

Vanliga frågor

Tips för addition i polär form

Viktigt att tänka på

  • Gå via rektangulär form.
  • Rita parallellogrammet för att kontrollera svaret.

Testa dig själv: Addition i polär form1/3

Hur adderar man två tal som är givna i polär form?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Aktivera JavaScript för att använda formulär och interaktiva verktyg. Sidans innehåll och länkar kan läsas utan JavaScript.