Implicita funktioner och deras derivata

Lösning

1. Steg 1. Derivera båda leden.

   $$2x+\nobreak 2yy'=\nobreak 0$$

2. Steg 2. Lös ut $\displaystyle y'$.

   $$y'=-\nobreak \dfrac{x}{y}$$

3. Steg 3. Sätt in punkten.

   $$y'=-\nobreak \dfrac{3}{4}$$

Svar: Lutningen är $\displaystyle -\frac{3}{4}$. Det stämmer med att tangenten är vinkelrät mot radien, som har lutningen $\displaystyle \frac{4}{3}$.

Lösning

1. Steg 1. Kontrollera att punkten ligger på kurvan: $\displaystyle 1\cdot2+2^2=6$. Derivera, med produktregeln för $\displaystyle xy$.

   $$y+\nobreak xy'+\nobreak 2yy'=\nobreak 0$$

2. Steg 2. Bryt ut $\displaystyle y'$.

   $$y'(x+\nobreak 2y)=\nobreak -\nobreak y\ \Leftrightarrow\ y'=-\nobreak \dfrac{y}{x+\nobreak 2y}$$

3. Steg 3. Sätt in punkten.

   $$y'=-\nobreak \dfrac{2}{1+\nobreak 4}=-\nobreak \dfrac{2}{5}$$

Svar: Lutningen är $\displaystyle -0{,}4$.

Lösning

1. Steg 1. Sätt $\displaystyle y=\arcsin x$. Då är $\displaystyle \sin y=x$ med $\displaystyle y$ mellan $\displaystyle -\frac{\pi}{2}$ och $\displaystyle \frac{\pi}{2}$. Derivera implicit.

   $$\cos y\cdot\nobreak y'=\nobreak 1\ \Leftrightarrow\ y'=\dfrac{1}{\cos y}$$

2. Steg 2. I det intervallet är $\displaystyle \cos y$ positiv, så trigonometriska ettan ger

   $$\cos y=\sqrt{1-\nobreak \sin^2y}=\sqrt{1-\nobreak x^2}$$

Svar: $\displaystyle D\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.