Konjugat och absolutbelopp av komplexa tal

Konjugatet speglar ett tal i den reella axeln och beloppet är avståndet till origo. Här kopplas de ihop.

På den här sidan

Bakgrund

Konjugatet speglar ett komplext tal i den reella axeln, och absolutbeloppet är talets avstånd till origo. De två hänger ihop: ett tal gånger sitt konjugat är beloppet i kvadrat. Det används vid division och för att lösa ekvationer.

Teori

z=\nobreak a+\nobreak bi\quad\Rightarrow\quad\bar z=\nobreak a-\nobreak bi

|z|=\sqrt{a^2+\nobreak b^2}

Beloppet följer av Pythagoras sats i talplanet, med kateterna $\displaystyle |a|$ och $\displaystyle |b|$ .

z\bar z=\nobreak |z|^2,\qquad\allowbreak |zw|=\nobreak |z|\,|w|,\qquad\allowbreak \overline{z+\nobreak w}=\bar z+\nobreak \bar w,\qquad\allowbreak \overline{zw}=\nobreak \bar z\,\bar w

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Belopp och konjugat

Uppgift: Låt $\displaystyle z=3-4i$ . Beräkna $\displaystyle \bar z$ , $\displaystyle |z|$ och $\displaystyle z\bar z$ .

Exempel 2: Ekvation med konjugat

Uppgift: Lös ekvationen $\displaystyle z+2\bar z=6-i$ .

Interaktiva funktioner

Belopp och konjugat

Välj ett tal. Cirkeln har radien $\displaystyle |z|$ , så både talet och konjugatet ligger på den.

Realdel: $\displaystyle a=3$

Imaginärdel: $\displaystyle b=4$

|z|=\sqrt{3^2+\nobreak 4^2}\approx\nobreak 5,\qquad\allowbreak z\bar z=\nobreak 25

Talet, konjugatet och cirkeln med radien lika med beloppet

-6-4-20246-6i-4i-2i02i4i6iReIm

\displaystyle z

\displaystyle \bar z

$\displaystyle z$ : $\displaystyle 3+4i$
$\displaystyle \bar z$ : $\displaystyle 3-4i$

Vanliga misstag

Att byta tecken på realdelen när konjugatet bildas.
Att räkna $\displaystyle |a+bi|=a+b$ .
Att glömma att beloppet alltid är ett reellt tal som inte är negativt.

Vanliga frågor

Tips för konjugat och belopp

Viktigt att tänka på

Rita talet och dess spegelbild.
Använd z gånger konjugatet för att få bort i ur nämnare.

Testa dig själv: Konjugat och absolutbelopp1/3

Vad är konjugatet till $\displaystyle -2+5i$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här