Gymnasiet

Ma4

Kapitel 4.1.4

Avstånd i det komplexa talplanet

Beloppet av en skillnad är avståndet mellan två tal. Här beskrivs cirklar och linjer i talplanet med komplexa tal.

På den här sidan

Bakgrund

Absolutbeloppet av en skillnad, $\displaystyle |z-w|$ , är avståndet mellan två tal i talplanet. Det gör att geometriska figurer som cirklar och linjer kan beskrivas med korta ekvationer i komplexa tal.

Teori

|z-\nobreak w|=\sqrt{(a-\nobreak c)^2+\nobreak (b-\nobreak d)^2},\qquad\allowbreak z=\nobreak a+\nobreak bi,\ \allowbreak w=\nobreak c+\nobreak di

Det är avståndsformeln från koordinatgeometrin.

Villkor	Mängd i talplanet
$\displaystyle \|z-z_0\|=r$	Cirkel med medelpunkt $\displaystyle z_0$ och radie $\displaystyle r$
$\displaystyle \|z-z_0\|<r$	Det inre av cirkeln
$\displaystyle \|z-z_1\|=\|z-z_2\|$	Mittpunktsnormalen till sträckan mellan $\displaystyle z_1$ och $\displaystyle z_2$

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Avstånd mellan två tal

Uppgift: Beräkna avståndet mellan $\displaystyle z=1+2i$ och $\displaystyle w=4+6i$ .

Exempel 2: Cirkel

Uppgift: Beskriv mängden av alla $\displaystyle z$ som uppfyller $\displaystyle |z-(1+i)|=2$ .

Interaktiva funktioner

Cirkeln med medelpunkt och radie

Alla tal $\displaystyle z$ med $\displaystyle |z-z_0|=r$ ligger på cirkeln.

Medelpunktens realdel: $\displaystyle a=1$

Medelpunktens imaginärdel: $\displaystyle b=1$

Radie: $\displaystyle r=2$

|z-\nobreak (1+\nobreak i)|=\nobreak 2

Cirkeln i talplanet (Re vågrätt, Im lodrätt)

Lodrät axel: Im

−7−4−101257−7−6−5−4−3−2−101234567

Vågrät axel: Re

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Streckad cirkel: $\displaystyle |z-z_0|=2$

Markerade punkter (ungefär):

Medelpunkt: (1; 1)

Vanliga misstag

Att skriva $\displaystyle |z+2|$ som avståndet till 2. Det är avståndet till $\displaystyle -2$ .
Att glömma att kvadrera radien när ekvationen skrivs med x och y.
Att blanda ihop cirkel och cirkelskiva vid olikheter.

Vanliga frågor

Tips för avstånd i talplanet

Viktigt att tänka på

Skriv om z plus ett tal som z minus det motsatta talet.
Rita medelpunkten och radien.

Testa dig själv: Avstånd i talplanet1/3

Vad är avståndet mellan $\displaystyle 1+2i$ och $\displaystyle 4+6i$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här