Komplexa tal i polär form

I polär form beskrivs ett komplext tal med belopp och argument. Här lär du dig växla mellan polär och rektangulär form.

På den här sidan

Bakgrund

Ett komplext tal kan också beskrivas med sitt avstånd till origo och sin riktning, alltså belopp och argument. Det kallas polär form. I polär form blir multiplikation, division och potenser mycket enkla.

Teori

z=r(\cos v+\nobreak i\sin v),\qquad\allowbreak r=\nobreak |z|=\sqrt{a^2+\nobreak b^2}

Argumentet $\displaystyle v=\arg z$ är vinkeln från positiva reella axeln till vektorn, mätt moturs. Det bestäms av

\cos v=\dfrac{a}{r},\qquad\allowbreak \sin v=\dfrac{b}{r}

Formeln $\displaystyle \tan v=\frac{b}{a}$ ger bara vinkeln upp till en multipel av $\displaystyle \pi$ . Kontrollera därför alltid vilken kvadrant talet ligger i. Argumentet är bestämt så när som på hela varv.

a=\nobreak r\cos v,\qquad\allowbreak b=\nobreak r\sin v

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Till polär form

Uppgift: Skriv $\displaystyle z=-1+\sqrt{3}i$ i polär form.

Exempel 2: Till rektangulär form

Uppgift: Skriv $\displaystyle z=4\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)$ i rektangulär form.

Interaktiva funktioner

Från polär till rektangulär form

Välj belopp och argument i steg om $\displaystyle \frac{\pi}{12}$ .

Belopp: $\displaystyle r=2$

Argument: $\displaystyle v=4\cdot\dfrac{\pi}{12}$

z=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+\nobreak i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\approx1+\nobreak 1{,}73i

Talet med belopp och argument

-4-2024-4i-2i02i4iReIm

\displaystyle z

$\displaystyle z$ : $\displaystyle 1+1{,}73i$

Vanliga misstag

Att bestämma argumentet med arctan utan att kontrollera kvadranten.
Att blanda ihop grader och radianer i argumentet.
Att glömma att beloppet aldrig är negativt.

Vanliga frågor

Tips för polär form

Viktigt att tänka på

Rita talet och avgör kvadranten innan du bestämmer argumentet.
Använd exakta värden när vinkeln är en standardvinkel.

Testa dig själv: Polär form1/3

Vad är $\displaystyle 1+i$ i polär form?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här