Kedjeregeln, produktregeln och kvotregeln

Lösning

1. Steg 1. Skriv roten som potens. Inre funktionen är $\displaystyle u=x^2+9$.

   $$f(x)=\nobreak u^{1/2},\quad\allowbreak u'=\nobreak 2x$$

2. Steg 2. Yttre derivatan gånger inre derivatan.

   $$f'(x)=\dfrac{1}{2}(x^2+\nobreak 9)^{-\nobreak 1/2}\cdot\nobreak 2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+\nobreak 9}}$$

Svar: $\displaystyle f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$.

Lösning

1. Steg 1. Derivatorna av faktorerna. Den första kräver kedjeregeln.

   $$D\,e^{2x}=\nobreak 2e^{2x},\quad\allowbreak D\cos x=\nobreak -\nobreak \sin x$$

2. Steg 2. Använd produktregeln och bryt ut $\displaystyle e^{2x}$.

   $$g'(x)=2e^{2x}\cos x-\nobreak e^{2x}\sin x=e^{2x}(2\cos x-\nobreak \sin x)$$

Svar: $\displaystyle g'(x)=e^{2x}(2\cos x-\sin x)$.

Lösning

1. Steg 1. Täljaren $\displaystyle f=x$ och nämnaren $\displaystyle g=x^2+1$.

   $$h'(x)=\dfrac{1\cdot\nobreak (x^2+\nobreak 1)-\nobreak x\cdot\nobreak 2x}{(x^2+\nobreak 1)^2}=\dfrac{1-\nobreak x^2}{(x^2+\nobreak 1)^2}$$

2. Steg 2. Tangenten är vågrät där derivatan är noll, alltså där täljaren är noll.

   $$1-\nobreak x^2=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ x=\nobreak \pm\nobreak 1$$

Svar: Vågräta tangenter där $\displaystyle x=-1$ och $\displaystyle x=1$.

Lösning

1. Steg 1. Skriv tangens som en kvot och använd kvotregeln.

   $$D\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{\cos x\cos x-\nobreak \sin x(-\nobreak \sin x)}{\cos^2x}$$

2. Steg 2. Täljaren är trigonometriska ettan.

   $$\dfrac{\cos^2x+\nobreak \sin^2x}{\cos^2x}=\dfrac{1}{\cos^2x}$$

Svar: $\displaystyle D\tan x=\frac{1}{\cos^2x}$, där $\displaystyle \cos x\neq0$.