Derivata av sammansatta funktioner

Lösning

1. Steg 1. Lagren är kvadrat, sinus och $\displaystyle 3x$.

   $$f(x)=\big(\sin(3x)\big)^2$$

2. Steg 2. Derivera utifrån och in.

   $$f'(x)=2\sin(3x)\cdot\nobreak \cos(3x)\cdot\nobreak 3=6\sin3x\cos3x$$

3. Steg 3. Med formeln för dubbla vinkeln kan svaret förenklas.

   $$6\sin3x\cos3x=\nobreak 3\sin6x$$

Svar: $\displaystyle f'(x)=3\sin6x$.

Lösning

1. Steg 1. Produktregeln, där varje faktor kräver kedjeregeln.

   $$D\,e^{-\nobreak 0{,}5t}=-\nobreak 0{,}5e^{-\nobreak 0{,}5t},\quad\allowbreak D\sin2t=\nobreak 2\cos2t$$

2. Steg 2. Sätt ihop och bryt ut exponentialfaktorn.

   $$y'(t)=e^{-\nobreak 0{,}5t}(2\cos2t-0{,}5\sin2t)$$

Svar: $\displaystyle y'(t)=e^{-0{,}5t}(2\cos2t-0{,}5\sin2t)$.

Lösning

1. Steg 1. Volymen som funktion av radien.

   $$V=\dfrac{4\pi r^3}{3}\ \Rightarrow\ \dfrac{dV}{dr}=\nobreak 4\pi r^2$$

2. Steg 2. Kedjeregeln med tiden.

   $$\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\cdot\nobreak \dfrac{dr}{dt}=4\pi\cdot\nobreak 10^2\cdot\nobreak 2=800\pi\approx\nobreak 2\,513$$

Svar: Volymen ökar med ungefär $\displaystyle 2\,500\ \text{cm}^3$ per sekund.