Kapitel 2.1.1: Derivatan av sin(x) och cos(x) | Matematik 4

Bakgrund

Sinuskurvan lutar mest där den korsar jämviktslinjen och är vågrät i topparna. Lutningen följer därför själv en våg, och den vågen är cosinuskurvan. Här visar vi varför derivatan av sinus är cosinus och derivatan av cosinus är minus sinus, och hur det används för att hitta största och minsta värden.

Teori

Derivatorna

D\sin x=\nobreak \cos x,\qquad\allowbreak D\cos x=\nobreak -\nobreak \sin x

Formlerna gäller när $\displaystyle x$ mäts i radianer.

Varför gäller det?

Utgå från derivatans definition och additionsformeln för $\displaystyle \sin(x+h)$ :

\dfrac{\sin(x+\nobreak h)-\nobreak \sin x}{h}=\sin x\cdot\nobreak \dfrac{\cos h-\nobreak 1}{h}+\nobreak \cos x\cdot\nobreak \dfrac{\sin h}{h}

När $\displaystyle h$ går mot 0 går $\displaystyle \frac{\sin h}{h}$ mot 1 och $\displaystyle \frac{\cos h-1}{h}$ mot 0. Kvar blir $\displaystyle \cos x$ . Derivatan av cosinus visas på samma sätt.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Derivera

Uppgift: Derivera $\displaystyle f(x)=3\sin x-2\cos x+x^2$ .

Exempel 2: Största och minsta värde

Uppgift: Bestäm största och minsta värdet av $\displaystyle f(x)=\sin x+\cos x$ för $\displaystyle 0\le x\le2\pi$ .

Exempel 3: Hastighet i en svängning

Uppgift: En vikt i en fjäder har läget $\displaystyle y(t)=4\cos t$ cm efter $\displaystyle t$ sekunder. Bestäm hastigheten när $\displaystyle t=\frac{\pi}{6}$ .

Interaktiva funktioner

Differenskvoten närmar sig cosinus

Minska steget $\displaystyle h$ och se hur sekantens lutning närmar sig $\displaystyle \cos a$ .

Punkt: $\displaystyle a=1$

Steg: $\displaystyle h=0{,}5$

\dfrac{\sin(a+\nobreak h)-\nobreak \sin a}{h}\approx\nobreak 0{,}312,\qquad\allowbreak \cos a\approx\nobreak 0{,}5403

Skillnaden är ungefär $\displaystyle 0{,}2283$ . Den blir mindre när $\displaystyle h$ minskar.

Sinuskurvan och sekanten

Lodrät axel: y

\displaystyle 0

\displaystyle \pi/2

\displaystyle \pi

\displaystyle 3\pi/2

\displaystyle 2\pi

−2−1012

Vågrät axel: x

Rutlinjerna på x-axeln visar de markerade värdena. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=\sin x$
Streckad: Sekant

Markerade punkter (ungefär):

Punkt a: (1; 0,8415)
Punkt a + h: (1,5; 0,9975)

Vanliga misstag

Att glömma minustecknet i derivatan av cosinus.
Att använda formlerna med vinkeln i grader.
Att glömma ändpunkterna när största och minsta värde söks i ett slutet intervall.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra derivatan av sinus och cosinus

Viktigt att tänka på

Skissa sinuskurvan och dess lutning. Lutningskurvan ser ut som cosinus.
Kontrollera tecknet med en enkel punkt, till exempel att sinus växer vid $\displaystyle x=0$ .

Testa dig själv: Derivatan av sinus och cosinus1/3

Vad är derivatan av $\displaystyle f(x)=3\sin x-2\cos x$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här