Polynomekvationer av högre grad

Ekvationer av högre grad löses genom att hitta en rot, faktorisera och använda konjugatpar och substitution.

På den här sidan

Bakgrund

Ekvationer av tredje och fjärde graden löses ofta genom att man hittar en rot, faktoriserar och fortsätter med en ekvation av lägre grad. Ibland går det att byta variabel så att ekvationen blir en andragradsekvation. Konjugatpar ger extra rötter gratis när koefficienterna är reella.

Teori

Känd rot: dividera bort faktorn och lös resten.
Känd komplex rot $\displaystyle a+bi$ och reella koefficienter: även $\displaystyle a-bi$ är en rot, och de två ger tillsammans den reella faktorn $\displaystyle x^2-2ax+a^2+b^2$ .
Bikvadratisk ekvation $\displaystyle z^4+pz^2+q=0$ : sätt $\displaystyle t=z^2$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Känd komplex rot

Uppgift: Ekvationen $\displaystyle x^3-x^2+2=0$ har roten $\displaystyle 1+i$ . Lös ekvationen fullständigt.

Exempel 2: Bikvadratisk ekvation

Uppgift: Lös $\displaystyle z^4+3z^2-4=0$ .

Interaktiva funktioner

Bygg ett tredjegradspolynom

Välj en reell rot $\displaystyle r$ och ett konjugatpar $\displaystyle a\pm bi$ . Polynomet får reella koefficienter.

Reell rot: $\displaystyle r=-1$

Realdel i paret: $\displaystyle a=1$

Imaginärdel i paret: $\displaystyle b=1$

p(x)=x^{3}-\nobreak x^{2}+\nobreak 2

Alla koefficienter är reella, trots att två av rötterna är komplexa.

Polynomets rötter

-4-2024-4i-2i02i4iReIm

\displaystyle r

\displaystyle a+bi

\displaystyle a-bi

$\displaystyle r$ : $\displaystyle -1$
$\displaystyle a+bi$ : $\displaystyle 1+i$
$\displaystyle a-bi$ : $\displaystyle 1-i$

Vanliga misstag

Att glömma konjugatroten.
Att bara ta den positiva roten när z i kvadrat är känt.
Att räkna fel vid polynomdivisionen. Kontrollera genom multiplikation.

Vanliga frågor

Tips för ekvationer av högre grad

Viktigt att tänka på

Använd konjugatet direkt när en komplex rot är given.
Kontrollera alla rötter genom insättning.

Testa dig själv: Polynomekvationer av högre grad1/3

Ekvationen $\displaystyle x^3-x^2+2=0$ har roten $\displaystyle 1+i$ . Vilka är de andra rötterna?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här