De Moivre's formel

De Moivres formel säger att vinkeln multipliceras när ett tal på enhetscirkeln upphöjs.

På den här sidan

Bakgrund

De Moivres formel säger hur ett tal på enhetscirkeln upphöjs: vinkeln multipliceras. Formeln gör höga potenser enkla och ger dessutom trigonometriska formler för multipla vinklar, till exempel för $\displaystyle \cos3v$ .

Teori

De Moivres formel

(\cos v+\nobreak i\sin v)^n=\cos nv+\nobreak i\sin nv

Med Eulers formel är det potenslagen $\displaystyle \big(e^{iv}\big)^n=e^{inv}$ . För ett tal med belopp $\displaystyle r$ gäller $\displaystyle z^n=r^n(\cos nv+i\sin nv)$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Potens av ett tal på enhetscirkeln

Uppgift: Beräkna $\displaystyle \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^{9}$ .

Exempel 2: Cosinus för tredubbla vinkeln

Uppgift: Använd de Moivres formel med $\displaystyle n=3$ för att uttrycka $\displaystyle \cos3v$ med $\displaystyle \cos v$ .

Interaktiva funktioner

Vinkeln multipliceras

Välj vinkel och exponent. Talet och dess potens ligger båda på enhetscirkeln.

Vinkel: $\displaystyle v=1\cdot\dfrac{\pi}{12}$

Exponent: $\displaystyle n=6$

\left(\cos\dfrac{\pi}{12}+\nobreak i\sin\dfrac{\pi}{12}\right)^{6}=\cos\dfrac{\pi}{2}+\nobreak i\sin\dfrac{\pi}{2}\approxi

Talet och potensen på enhetscirkeln

-2-1012-2i-1i01i2iReIm

\displaystyle z

\displaystyle z^{6}

$\displaystyle z$ : $\displaystyle 0{,}97+0{,}26i$
$\displaystyle z^{6}$ : $\displaystyle i$

Vanliga misstag

Att skriva $\displaystyle \cos^nv$ i stället för $\displaystyle \cos nv$ .
Att glömma att upphöja beloppet när talet inte ligger på enhetscirkeln.

Vanliga frågor

Tips för de Moivres formel

Viktigt att tänka på

Kontrollera att talet har beloppet 1, annars ska beloppet också upphöjas.
Reducera vinkeln med hela varv.

Testa dig själv: De Moivres formel1/3

Vad säger de Moivres formel?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i taluppfattning för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här