Kapitel 1.1: Trigonometriska begrepp | Matematik 4

Bakgrund

Många förlopp upprepar sig: dygnets temperatur, tidvattnet och ljudvågor. De kan beskrivas med sinus- och cosinusfunktioner. För att göra det behövs några begrepp: radian, period, amplitud, jämviktslinje och fasförskjutning. Här går vi igenom vad de betyder och hur de syns i funktionsuttrycket och i grafen.

Teori

Radian

En radian är den vinkel som ger en båge lika lång som radien. På enhetscirkeln är bågens längd därför lika med vinkeln. Ett varv är $\displaystyle 2\pi$ radianer:

v_{\text{rad}}=v_{\text{grader}}\cdot\nobreak \dfrac{\pi}{180^\circ},\qquad\allowbreak v_{\text{grader}}=v_{\text{rad}}\cdot\nobreak \dfrac{180^\circ}{\pi}

Periodisk funktion

En funktion är periodisk med perioden $\displaystyle T$ om $\displaystyle f(x+T)=f(x)$ för alla $\displaystyle x$ . Sinus och cosinus har perioden $\displaystyle 2\pi$ och tangens perioden $\displaystyle \pi$ .

Den allmänna sinusfunktionen

y=A\sin\big(k(x-\nobreak c)\big)+\nobreak d

Konstant	Betydelse	Syns i grafen som
$\displaystyle \|A\|$	Amplitud	Avståndet från jämviktslinjen till en topp
$\displaystyle k$	Antal svängningar på $\displaystyle 2\pi$	Perioden $\displaystyle T=\frac{2\pi}{k}$
$\displaystyle c$	Fasförskjutning	Förflyttning $\displaystyle c$ åt höger (åt vänster om $\displaystyle c$ är negativt)
$\displaystyle d$	Jämviktslinje	Linjen $\displaystyle y=d$ mitt mellan topp och dal

Största värdet är $\displaystyle d+|A|$ och minsta värdet $\displaystyle d-|A|$ . Omvänt gäller $\displaystyle |A|=\frac{\max-\min}{2}$ och $\displaystyle d=\frac{\max+\min}{2}$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Grader och radianer

Uppgift: Skriv $\displaystyle 135^\circ$ i radianer och $\displaystyle \frac{5\pi}{6}$ i grader.

Exempel 2: Egenskaper ur funktionsuttrycket

Uppgift: Bestäm amplitud, period, största och minsta värde för $\displaystyle y=2\sin3x-1$ .

Exempel 3: Funktionsuttryck ur egenskaper

Uppgift: En sinusfunktion har största värdet 5, minsta värdet 1 och perioden $\displaystyle \pi$ . Grafen går uppåt genom jämviktslinjen när $\displaystyle x=0$ . Bestäm funktionen.

Interaktiva funktioner

Konstanternas effekt

Ändra $\displaystyle A$ , $\displaystyle k$ , $\displaystyle c$ och $\displaystyle d$ . Den streckade kurvan är $\displaystyle y=\sin x$ som jämförelse.

Amplitud: $\displaystyle A=2$

Faktor framför parentesen: $\displaystyle k=1$

Fasförskjutning: $\displaystyle c=1\cdot\dfrac{\pi}{6}$

Jämviktslinje: $\displaystyle d=0$

y=2\sin \left(x-\nobreak \dfrac{\pi}{6}\right)

|A|=\nobreak 2,\quad\allowbreak T=\nobreak 2\pi,\quad\allowbreak c=\dfrac{\pi}{6},\quad\allowbreak y_{\max}=\nobreak 2,\quad\allowbreak y_{\min}=\nobreak -\nobreak 2

Den valda funktionen jämförd med sinus

Lodrät axel: y

\displaystyle -\pi

\displaystyle 0

\displaystyle \pi

\displaystyle 2\pi

−5−4−3−2−1012345

Vågrät axel: x

Rutlinjerna på x-axeln visar de markerade värdena. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=2\sin \left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$
Streckad: $\displaystyle y=\sin x$

Vanliga misstag

Att tro att $\displaystyle \sin(x-c)$ flyttar grafen åt vänster. Ett minustecken innanför parentesen ger förflyttning åt höger.
Att läsa $\displaystyle k$ som perioden. Perioden är $\displaystyle \frac{2\pi}{k}$ .
Att ange en negativ amplitud. Amplituden är alltid $\displaystyle |A|$ .
Att glömma att $\displaystyle \sin(kx-c)$ och $\displaystyle \sin\big(k(x-c)\big)$ är olika förskjutningar.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra trigonometriska begrepp

Viktigt att tänka på

Rita jämviktslinjen först, sedan topparna och dalarna.
Räkna ut perioden innan du skissar, så att du vet var en svängning slutar.
Lär dig att $\displaystyle \pi$ motsvarar $\displaystyle 180^\circ$ , så blir omvandlingar enkla.

Testa dig själv: Trigonometriska begrepp1/3

Vad är $\displaystyle \dfrac{5\pi}{6}$ i grader?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i trigonometri för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här