Kapitel 2.3.3: Analysera grafer med hjälp av derivata | Matematik 4

Bakgrund

Förstaderivatan visar var en funktion växer och avtar. Andraderivatan visar hur grafen böjer sig: uppåt som en skål eller nedåt som ett tak. Tillsammans ger de en fullständig bild av grafens form, med extrempunkter, terrasspunkter och inflexionspunkter.

Teori

Villkor	Betydelse
$\displaystyle f'(x)>0$	växande
$\displaystyle f'(x)<0$	avtagande
$\displaystyle f''(x)>0$	konvex, böjer sig uppåt
$\displaystyle f''(x)<0$	konkav, böjer sig nedåt

En inflexionspunkt är en punkt där andraderivatan byter tecken, alltså där grafen går från att böja sig uppåt till nedåt eller tvärtom.

Andraderivatans test: om $\displaystyle f'(a)=0$ och $\displaystyle f''(a)<0$ är det en maximipunkt, och om $\displaystyle f''(a)>0$ en minimipunkt. Om $\displaystyle f''(a)=0$ ger testet inget besked, och då behövs en teckentabell.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Fullständig analys

Uppgift: Bestäm extrempunkter, terrasspunkter och inflexionspunkter för $\displaystyle f(x)=x^4-4x^3$ .

Lösning

Steg 1. Förstaderivatan och dess nollställen.
$f'(x)=4x^3-\nobreak 12x^2=4x^2(x-\nobreak 3)=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ x=\nobreak 0,\ \allowbreak x=\nobreak 3$
Steg 2. Faktorn $\displaystyle x^2$ byter inte tecken, så derivatan är negativ på båda sidor om 0. Vid $\displaystyle x=3$ byter den från minus till plus.
$f(0)=\nobreak 0,\quad\allowbreak f(3)=\nobreak 81-\nobreak 108=\nobreak -\nobreak 27$
Steg 3. Andraderivatan och dess nollställen.
$f''(x)=12x^2-\nobreak 24x=\nobreak 12x(x-\nobreak 2)=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ x=\nobreak 0,\ \allowbreak x=\nobreak 2$
Steg 4. Andraderivatan byter tecken i båda punkterna.
$f(2)=\nobreak 16-\nobreak 32=\nobreak -\nobreak 16$

Svar: Terrasspunkt i $\displaystyle (0;\ 0)$ , minimipunkt i $\displaystyle (3;\ -27)$ och inflexionspunkter i $\displaystyle (0;\ 0)$ och $\displaystyle (2;\ -16)$ .

Teckentabell för första- och andraderivatan

$\displaystyle x$	$\displaystyle x<0$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 0<x<2$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 2<x<3$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle x>3$
$\displaystyle f'(x)$	$\displaystyle -$ negativ	$\displaystyle 0$ noll	$\displaystyle -$ negativ	$\displaystyle -$ negativ	$\displaystyle -$ negativ	$\displaystyle 0$ noll	$\displaystyle +$ positiv
$\displaystyle f''(x)$	$\displaystyle +$ positiv	$\displaystyle 0$ noll	$\displaystyle -$ negativ	$\displaystyle 0$ noll	$\displaystyle +$ positiv	$\displaystyle +$ positiv	$\displaystyle +$ positiv
$\displaystyle f(x)$	avtar, konvex	terrass	avtar, konkav	inflexion	avtar, konvex	min	växer, konvex

$\displaystyle x<0$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle -$ negativ
- $\displaystyle f''(x)$ : $\displaystyle +$ positiv
- $\displaystyle f(x)$ : avtar, konvex
$\displaystyle 0$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle 0$ noll
- $\displaystyle f''(x)$ : $\displaystyle 0$ noll
- $\displaystyle f(x)$ : terrass
$\displaystyle 0<x<2$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle -$ negativ
- $\displaystyle f''(x)$ : $\displaystyle -$ negativ
- $\displaystyle f(x)$ : avtar, konkav
$\displaystyle 2$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle -$ negativ
- $\displaystyle f''(x)$ : $\displaystyle 0$ noll
- $\displaystyle f(x)$ : inflexion
$\displaystyle 2<x<3$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle -$ negativ
- $\displaystyle f''(x)$ : $\displaystyle +$ positiv
- $\displaystyle f(x)$ : avtar, konvex
$\displaystyle 3$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle 0$ noll
- $\displaystyle f''(x)$ : $\displaystyle +$ positiv
- $\displaystyle f(x)$ : min
$\displaystyle x>3$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle +$ positiv
- $\displaystyle f''(x)$ : $\displaystyle +$ positiv
- $\displaystyle f(x)$ : växer, konvex

Exempel 2: Andraderivatans test

Uppgift: Avgör vilken typ av extrempunkt $\displaystyle g(x)=x^3-6x^2+9x$ har i $\displaystyle x=1$ och $\displaystyle x=3$ .

Interaktiva funktioner

Lutning och krökning

Flytta punkten längs grafen till $\displaystyle f(x)=x^4-4x^3$ .

Punkt: $\displaystyle x=1$

f(1)\approx\nobreak -\nobreak 3,\quad\allowbreak f'(1)\approx\nobreak -\nobreak 8,\quad\allowbreak f''(1)\approx\nobreak -\nobreak 12

Andraderivatan är negativ: grafen böjer sig nedåt här. Funktionen avtar.

Grafen med den valda punkten och tangenten

Lodrät axel: y

−101234−30−20−10010

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 10.

Heldragen: $\displaystyle y=x^4-4x^3$
Streckad: Tangent

Markerade punkter (ungefär):

Vald punkt: (1; −3)
Inflexionspunkt: (2; −16)
Minimum: (3; −27)

Vanliga misstag

Att tro att $\displaystyle f''(a)=0$ alltid ger en inflexionspunkt. Andraderivatan måste byta tecken.
Att använda andraderivatans test när $\displaystyle f''(a)=0$ .
Att blanda ihop växande med konvex.

Vanliga frågor

Tips för att analysera grafer

Viktigt att tänka på

Faktorisera derivatorna, då syns tecknen direkt.
Gör en gemensam teckentabell för första- och andraderivatan.

Testa dig själv: Analysera grafer1/3

Vad gäller om $\displaystyle f''(x)>0$ i ett intervall?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här