Gymnasiet

Ma4

Kapitel 2.1

Deriveringsregler

Här samlas deriveringsreglerna för summor, potenser, exponentialfunktioner och logaritmer, med tillämpningar på tangenter och tillväxt.

På den här sidan

Bakgrund

Deriveringsreglerna gör att man slipper räkna med derivatans definition varje gång. Här samlas reglerna för summor och konstanta faktorer tillsammans med derivatorna av exponential-, logaritm- och potensfunktioner. I nästa avsnitt kommer trigonometriska funktioner och reglerna för sammansatta funktioner.

Teori

Summa och konstant faktor

\big(af(x)+\nobreak bg(x)\big)'=af'(x)+\nobreak bg'(x)

En summa deriveras term för term, och en konstant faktor följer med.

Exponential- och logaritmfunktioner

D\,e^{kx}=\nobreak ke^{kx},\qquad\allowbreak D\,a^x=\nobreak a^x\ln a

D\ln x=\dfrac{1}{x},\quad\allowbreak x>\nobreak 0

Derivatan av $\displaystyle a^x$ följer av att $\displaystyle a^x=e^{x\ln a}$ , en exponentialfunktion med $\displaystyle k=\ln a$ .

Potenser med alla exponenter

D\,x^n=\nobreak nx^{n-\nobreak 1}

Regeln gäller även för negativa och rationella exponenter, till exempel $\displaystyle D\sqrt{x}=D\,x^{1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Derivera termvis

Uppgift: Derivera $\displaystyle f(x)=4e^{2x}-3\ln x+\dfrac{2}{x}$ .

Exempel 2: Tillväxt

Uppgift: En bakteriekultur har $\displaystyle N(t)=500\cdot1{,}2^t$ bakterier efter $\displaystyle t$ timmar. Hur snabbt växer den när $\displaystyle t=5$ ?

Exempel 3: Tangent till logaritmkurvan

Uppgift: Bestäm tangentens ekvation till $\displaystyle y=\ln x$ i punkten där $\displaystyle x=e$ .

Interaktiva funktioner

Lutningen hos en exponentialfunktion

För $\displaystyle f(x)=a^x$ är kvoten mellan lutning och funktionsvärde alltid $\displaystyle \ln a$ .

Bas: $\displaystyle a=2$

Punkt: $\displaystyle x=1$

f(1)\approx\nobreak 2,\quad\allowbreak f'(1)\approx\nobreak 1{,}386,\quad\allowbreak \dfrac{f'}{f}\approx\nobreak 0{,}693=\nobreak \ln2

Exponentialfunktionen och tangenten

Lodrät axel: y

−2−1012−1012345678910111213141516

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=2^x$
Streckad: Tangent

Markerade punkter (ungefär):

Tangeringspunkt: (1; 2)

Vanliga misstag

Att derivera $\displaystyle a^x$ som $\displaystyle xa^{x-1}$ . Potensregeln gäller när variabeln står i basen, inte i exponenten.
Att glömma faktorn $\displaystyle k$ när $\displaystyle e^{kx}$ deriveras.
Att använda $\displaystyle D\ln x=\frac{1}{x}$ för $\displaystyle x\le0$ , där logaritmen inte är definierad.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra deriveringsreglerna

Viktigt att tänka på

Skriv om rötter och bråk som potenser innan du deriverar.
Kontrollera om variabeln står i basen eller i exponenten.
Förenkla svaret med positiva exponenter.

Testa dig själv: Deriveringsregler1/3

Vad är derivatan av $\displaystyle f(x)=5\cdot2^x$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i derivata för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här