Arean mellan två kurvor

Lösning

1. Steg 1. Skärningspunkter.

   $$x^2=\nobreak x+\nobreak 2\ \Leftrightarrow\ x^2-\nobreak x-\nobreak 2=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ x=\nobreak -\nobreak 1\ \text{ eller }\ x=\nobreak 2$$

2. Steg 2. Pröva $\displaystyle x=0$: linjen ger 2 och parabeln 0, så linjen ligger överst.

   $$A=\int_{-\nobreak 1}^{2}(x+\nobreak 2-\nobreak x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}+\nobreak 2x-\nobreak \dfrac{x^3}{3}\right]_{-\nobreak 1}^{2}$$

3. Steg 3. Beräkna.

   $$\left(2+4-\dfrac{8}{3}\right)-\left(\dfrac{1}{2}-2+\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{10}{3}+\nobreak \dfrac{7}{6}=\dfrac{9}{2}$$

Svar: Arean är $\displaystyle \frac{9}{2}$ areaenheter.

Lösning

1. Steg 1. Kurvorna skär varandra i gränserna. Mellan dem ligger sinus överst.

   $$A=\int_{\pi/4}^{5\pi/4}(\sin x-\cos x)\,dx=\big[-\nobreak \cos x-\nobreak \sin x\big]_{\pi/4}^{5\pi/4}$$

2. Steg 2. Sätt in gränserna.

   $$\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)-\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=2\sqrt{2}$$

Svar: Arean är $\displaystyle 2\sqrt{2}\approx2{,}83$ areaenheter.