Kapitel 1.4.2: Användning av radianer i trigonometri | Matematik 4

Bakgrund

I trigonometriska funktioner som beskriver svängningar står tiden ofta direkt i vinkeln, till exempel $\displaystyle \sin(\omega t)$ . Då måste vinkeln vara i radianer. Radianer gör också att sinus för små vinklar nästan är lika med vinkeln själv, något som används i fysik och i härledningen av derivatan av sinus.

Teori

Svängningar i tiden

y(t)=A\sin(\omega t),\qquad\allowbreak T=\dfrac{2\pi}{\omega},\qquad\allowbreak f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{\omega}{2\pi}

Här är $\displaystyle \omega$ vinkelhastigheten i radianer per sekund, $\displaystyle T$ perioden i sekunder och $\displaystyle f$ frekvensen i hertz.

Små vinklar

För små vinklar i radianer är bågen nästan lika lång som den lodräta sträckan i enhetscirkeln. Därför gäller

\sin x\approx\nobreak x\quad\text{och}\quad\lim_{x\to\nobreak 0}\dfrac{\sin x}{x}=\nobreak 1

Det gäller bara i radianer. I grader går kvoten mot $\displaystyle \frac{\pi}{180}$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Växelström

Uppgift: Spänningen i ett eluttag beskrivs av $\displaystyle U(t)=325\sin(100\pi t)$ volt. Bestäm period och frekvens.

Exempel 2: Småvinkelapproximation

Uppgift: Uppskatta $\displaystyle \sin0{,}05$ och jämför med räknaren.

Exempel 3: Avstånd till månen

Uppgift: Månen ses under vinkeln 0,0090 radianer och har diametern 3 470 km. Uppskatta avståndet till månen.

Interaktiva funktioner

Hur bra är approximationen?

Välj en vinkel i radianer och jämför $\displaystyle \sin x$ med $\displaystyle x$ .

Vinkel: $\displaystyle x=0{,}5$

\sin x\approx\nobreak 0{,}4794,\quad\allowbreak \dfrac{\sin x}{x}\approx\nobreak 0{,}9589,\quad\allowbreak \text{relativt fel}\approx\nobreak 4{,}29\ \%

Sinuskurvan och linjen genom origo med lutningen 1

Lodrät axel: y

00,511,500,511,5

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 0,5 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 0,5.

Heldragen: $\displaystyle y=\sin x$
Streckad: $\displaystyle y=x$

Markerade punkter (ungefär):

Vald punkt på sinuskurvan: (0,5; 0,4794)

Vanliga misstag

Att använda $\displaystyle \sin x\approx x$ med vinkeln i grader.
Att använda approximationen för stora vinklar. Redan vid 0,5 radianer är felet ungefär 4 procent.
Att blanda ihop vinkelhastighet och frekvens.

Vanliga frågor

Tips för att använda radianer

Viktigt att tänka på

Ställ räknaren i radianläge när tiden står i vinkeln.
Räkna ut perioden innan du skissar en svängning.
Kontrollera småvinkelapproximationer med räknaren.

Testa dig själv: Radianer i trigonometri1/3

Vad blir $\displaystyle \dfrac{\sin x}{x}$ ungefär när $\displaystyle x=0{,}01$ radianer?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i trigonometri för Matematik 4. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här