Kapitel 3.1.1: Växande och avtagande | Matematik 3

Bakgrund

En funktion är växande om funktionsvärdet ökar när $\displaystyle x$ ökar, och avtagande om det minskar. Med derivatans tecken kan du avgöra exakt var funktionen växer och avtar. Det behövs för att hitta extrempunkter, skissa grafer och lösa optimeringsproblem.

Teori

1. Derivatans tecken

Nyckelregler

Om $\displaystyle f'(x)>0$ i ett intervall är funktionen växande där.
Om $\displaystyle f'(x)<0$ i ett intervall är funktionen avtagande där.
Om $\displaystyle f'(x)=0$ har grafen en vågrät tangent.

Varför? Derivatan är tangentens lutning. En tangent som lutar uppåt betyder att grafen går uppåt i just den punkten.

2. Teckentabell

Derivatan kan bara byta tecken där den är 0 (eller inte finns). Därför räcker det att:

lösa $\displaystyle f'(x)=0$ ,
dela tallinjen i intervall vid lösningarna,
sätta in ett testvärde från varje intervall i $\displaystyle f'(x)$ .

3. Extrempunkter

Derivatan byter från plus till minus: maximipunkt.
Derivatan byter från minus till plus: minimipunkt.
Inget teckenbyte: terrasspunkt.

4. Andraderivatan som kontroll

Om $\displaystyle f'(a)=0$ och $\displaystyle f''(a)<0$ är det en maximipunkt. Om $\displaystyle f''(a)>0$ är det en minimipunkt. Om $\displaystyle f''(a)=0$ behövs teckentabellen.

5. Beteende långt ut

För $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ är $\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ . När $\displaystyle x$ blir stort går derivatan mot 0, så grafen planar ut.

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Andragradsfunktion

Uppgift: Bestäm var $\displaystyle f(x)=-x^2+4x+1$ växer och avtar.

Exempel 2: Tredjegradsfunktion

Uppgift: Bestäm var $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+2$ växer och avtar och ange extrempunkterna.

Lösning

Steg 1. Derivera och faktorisera.
$f'(x)=\nobreak 3x^2-\nobreak 6x=\nobreak 3x(x-\nobreak 2)$
Steg 2. Nollställen: $\displaystyle x=0$ och $\displaystyle x=2$ . Testvärden: $\displaystyle f'(-1)=9$ , $\displaystyle f'(1)=-3$ och $\displaystyle f'(3)=9$ .
Steg 3. Funktionsvärdena.
$f(0)=\nobreak 2,\quad\allowbreak f(2)=\nobreak -\nobreak 2$

Svar: Växande när $\displaystyle x\le0$ och $\displaystyle x\ge2$ , avtagande när $\displaystyle 0\le x\le2$ . Maximipunkt $\displaystyle (0;\ 2)$ och minimipunkt $\displaystyle (2;\ -2)$ .

Teckentabell för derivatan

$\displaystyle x$	$\displaystyle x<0$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 0<x<2$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle x>2$
$\displaystyle f'(x)$	$\displaystyle +$ positiv	$\displaystyle 0$ noll	$\displaystyle -$ negativ	$\displaystyle 0$ noll	$\displaystyle +$ positiv
$\displaystyle f(x)$	växer	maximum	avtar	minimum	växer

$\displaystyle x<0$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle +$ positiv
- $\displaystyle f(x)$ : växer
$\displaystyle 0$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle 0$ noll
- $\displaystyle f(x)$ : maximum
$\displaystyle 0<x<2$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle -$ negativ
- $\displaystyle f(x)$ : avtar
$\displaystyle 2$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle 0$ noll
- $\displaystyle f(x)$ : minimum
$\displaystyle x>2$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle +$ positiv
- $\displaystyle f(x)$ : växer

Exempel 3: Fjärdegradsfunktion med tre extrempunkter

Uppgift: Bestäm var $\displaystyle f(x)=x^4-2x^2$ växer och avtar och ange extrempunkterna.

Lösning

Steg 1. Derivera och faktorisera. Bryt först ut $\displaystyle 4x$ och använd sedan konjugatregeln.
$f'(x)=\nobreak 4x^3-\nobreak 4x=4x(x^2-\nobreak 1)=4x(x+\nobreak 1)(x-\nobreak 1)$
Steg 2. Nollställen: $\displaystyle x=-1$ , $\displaystyle x=0$ och $\displaystyle x=1$ . Testvärden: $\displaystyle f'(-2)=-24$ , $\displaystyle f'(-0{,}5)=1{,}5$ , $\displaystyle f'(0{,}5)=-1{,}5$ och $\displaystyle f'(2)=24$ .
Steg 3. Funktionsvärdena.
$f(-\nobreak 1)=\nobreak -\nobreak 1,\quad\allowbreak f(0)=\nobreak 0,\quad\allowbreak f(1)=\nobreak -\nobreak 1$

Svar: Avtagande när $\displaystyle x\le-1$ och $\displaystyle 0\le x\le1$ , växande när $\displaystyle -1\le x\le0$ och $\displaystyle x\ge1$ . Minimipunkter $\displaystyle (-1;\ -1)$ och $\displaystyle (1;\ -1)$ , maximipunkt $\displaystyle (0;\ 0)$ .

Teckentabell för derivatan

$\displaystyle x$	$\displaystyle x<-1$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle -1<x<0$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 0<x<1$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle x>1$
$\displaystyle f'(x)$	$\displaystyle -$ negativ	$\displaystyle 0$ noll	$\displaystyle +$ positiv	$\displaystyle 0$ noll	$\displaystyle -$ negativ	$\displaystyle 0$ noll	$\displaystyle +$ positiv
$\displaystyle f(x)$	avtar	minimum	växer	maximum	avtar	minimum	växer

$\displaystyle x<-1$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle -$ negativ
- $\displaystyle f(x)$ : avtar
$\displaystyle -1$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle 0$ noll
- $\displaystyle f(x)$ : minimum
$\displaystyle -1<x<0$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle +$ positiv
- $\displaystyle f(x)$ : växer
$\displaystyle 0$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle 0$ noll
- $\displaystyle f(x)$ : maximum
$\displaystyle 0<x<1$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle -$ negativ
- $\displaystyle f(x)$ : avtar
$\displaystyle 1$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle 0$ noll
- $\displaystyle f(x)$ : minimum
$\displaystyle x>1$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle +$ positiv
- $\displaystyle f(x)$ : växer

Grafen med tre extrempunkter

Lodrät axel: y

−2−1012−2−10123

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=x^4-2x^2$

Markerade punkter (ungefär):

Minimipunkt: (−1; −1)
Maximipunkt: (0; 0)
Minimipunkt: (1; −1)

Exempel 4: Låda med störst volym

Uppgift: Från en kvadratisk kartong med sidan 20 cm klipps kvadrater med sidan $\displaystyle x$ cm bort i hörnen, och kanterna viks upp till en låda utan lock. Vilket $\displaystyle x$ ger störst volym?

Interaktiva funktioner

Derivatans tecken längs grafen

Funktionen är $\displaystyle f(x)=x^4-2x^2$ med $\displaystyle f'(x)=4x^3-4x$ .

Punkt: $\displaystyle x=0{,}5$

f(0{,}5)\approx\nobreak -\nobreak 0{,}438,\quad\allowbreak f'(0{,}5)=\nobreak -\nobreak 1{,}5

Derivatan är negativ: funktionen avtar här.

Grafen och tangenten

Lodrät axel: y

−2−1012−2−10123

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=x^4-2x^2$
Streckad: Tangenten

Markerade punkter (ungefär):

Vald punkt: (0,5; −0,4375)

Lådans volym

Volymen är $\displaystyle V(x)=x(20-2x)^2$ där $\displaystyle 0<x<10$ .

Kvadratens sida: $\displaystyle x=3\ \text{cm}$

V(3)=\nobreak 588\ \text{cm}^3,\quad\allowbreak V'(3)=\nobreak 28

Derivatan är positiv: volymen ökar om x ökar lite. Maximum ligger vid $\displaystyle x=\frac{10}{3}\approx3{,}33$ .

Volymen som funktion av x

Lodrät axel: y

036100200400600

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 200.

Heldragen: $\displaystyle V(x)=x(20-2x)^2$

Markerade punkter (ungefär):

Valt x: (3; 588)
Maximum: (3,3333; 592,593)

Vanliga misstag

Att inte kontrollera tecknet på båda sidor om en punkt där derivatan är 0.
Att förväxla inflexionspunkt med extrempunkt.
Att missa terrasspunkter där derivatan är 0 utan teckenbyte.
Att glömma ändpunkterna i ett begränsat intervall vid optimering.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra området

Arbetssätt som fungerar

Gör alltid en teckentabell för derivatan.
Faktorisera derivatan, så blir testvärdena lättare att räkna.
Använd andraderivatan som kontroll av extrempunkternas typ.
Kontrollera att svaret uppfyller villkoren i uppgiften.

Testa dig själv1/3

Var växer $\displaystyle f(x)=-x^2+6x$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i integraler för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Bakgrund

Teori

1. Derivatans tecken

Nyckelregler

2. Teckentabell

3. Extrempunkter

4. Andraderivatan som kontroll

5. Beteende långt ut

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Andragradsfunktion

Exempel 2: Tredjegradsfunktion

Exempel 3: Fjärdegradsfunktion med tre extrempunkter

Exempel 4: Låda med störst volym

Interaktiva funktioner

Derivatans tecken längs grafen

Lådans volym

Vanliga misstag

Vanliga frågor

Vad är skillnaden mellan lokal och global extrempunkt?

Hur skissar jag en graf med hjälp av derivatan?

Vad betyder det att derivatan inte finns i en punkt?

Hur hänger derivatan ihop med tangenten?

Kan en funktion ha oändligt många extrempunkter?

Tips för att bemästra området

Arbetssätt som fungerar

Testa dig själv1/3

Testa att du förstått