Kapitel 3.1.2: Extrempunkter | Matematik 3

Bakgrund

Extrempunkter är de punkter där en funktion har ett största eller minsta värde, antingen i närheten av punkten eller i hela intervallet. De används när man vill hitta störst vinst, minst materialåtgång eller högsta höjd.

Teori

1. Derivatan och lutning

Viktigt

Om $\displaystyle f'(x)>0$ växer funktionen.
Om $\displaystyle f'(x)<0$ avtar funktionen.
Om $\displaystyle f'(x)=0$ är tangenten vågrät.

2. Olika slags extrempunkter

Lokal maximipunkt: funktionsvärdet är störst jämfört med punkterna i närheten.
Lokal minimipunkt: funktionsvärdet är minst jämfört med punkterna i närheten.
Största och minsta värde i ett intervall kallas globala extremvärden. De kan ligga i en lokal extrempunkt eller i en ändpunkt.

3. Teckentabell (förstaderivatatestet)

Klassificera med teckenbyte

Om $\displaystyle f'(a)=0$ :

Derivatan byter från plus till minus: lokal maximipunkt.
Derivatan byter från minus till plus: lokal minimipunkt.
Inget teckenbyte: terrasspunkt, ingen extrempunkt.

4. Andraderivatatestet

$\displaystyle f'(a)=0$ och $\displaystyle f''(a)>0$ : lokal minimipunkt. Grafen böjer uppåt.
$\displaystyle f'(a)=0$ och $\displaystyle f''(a)<0$ : lokal maximipunkt. Grafen böjer nedåt.
$\displaystyle f''(a)=0$ : testet ger inget svar. Använd teckentabellen.

5. Funktion och derivata i samma bild

Grafen visar $\displaystyle f(x)=x^3-3x$ (heldragen) och derivatan $\displaystyle f'(x)=3x^2-3$ (streckad). Där derivatans graf skär x-axeln har $\displaystyle f$ sina extrempunkter.

Funktionen och derivatan

Lodrät axel: y

−2−1012−4−3−2−101234

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=x^3-3x$
Streckad: $\displaystyle f'(x)=3x^2-3$

Lodrät streckad hjälplinje: $\displaystyle x=-1$ .

Lodrät streckad hjälplinje: $\displaystyle x=1$ .

Markerade punkter (ungefär):

Maximipunkt för f: (−1; 2)
Minimipunkt för f: (1; −2)
Nollställe för f': (−1; 0)
Nollställe för f': (1; 0)

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Hitta och klassificera extrempunkter

Uppgift: Bestäm extrempunkterna till $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+1$ och avgör deras typ.

Lösning

Steg 1. Derivera och lös $\displaystyle f'(x)=0$ .
$f'(x)=\nobreak 3x^2-\nobreak 6x=\nobreak 3x(x-\nobreak 2)=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ x=\nobreak 0\ \text{eller}\ x=\nobreak 2$
Steg 2. Testvärden: $\displaystyle f'(-1)=9>0$ , $\displaystyle f'(1)=-3<0$ och $\displaystyle f'(3)=9>0$ .
Steg 3. Beräkna y-koordinaterna.
$f(0)=\nobreak 1,\quad\allowbreak f(2)=\nobreak 8-\nobreak 12+\nobreak 1=\nobreak -\nobreak 3$

Svar: Lokal maximipunkt $\displaystyle (0;\ 1)$ och lokal minimipunkt $\displaystyle (2;\ -3)$ .

Teckentabell för derivatan

$\displaystyle x$	$\displaystyle x<0$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 0<x<2$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle x>2$
$\displaystyle f'(x)$	$\displaystyle +$ positiv	$\displaystyle 0$ noll	$\displaystyle -$ negativ	$\displaystyle 0$ noll	$\displaystyle +$ positiv
$\displaystyle f(x)$	växer	maximum	avtar	minimum	växer

$\displaystyle x<0$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle +$ positiv
- $\displaystyle f(x)$ : växer
$\displaystyle 0$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle 0$ noll
- $\displaystyle f(x)$ : maximum
$\displaystyle 0<x<2$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle -$ negativ
- $\displaystyle f(x)$ : avtar
$\displaystyle 2$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle 0$ noll
- $\displaystyle f(x)$ : minimum
$\displaystyle x>2$
- $\displaystyle f'(x)$ : $\displaystyle +$ positiv
- $\displaystyle f(x)$ : växer

Exempel 2: När andraderivatatestet inte räcker

Uppgift: Bestäm och klassificera de stationära punkterna till $\displaystyle g(x)=x^4-4x^3+2$ .

Exempel 3: Största vinst

Uppgift: Ett företags vinst är $\displaystyle P(x)=-2x^2+120x-1000$ kronor när $\displaystyle x$ enheter säljs. Hur många enheter ger störst vinst, och hur stor är den?

Exempel 4: Största och minsta värde på ett intervall

Uppgift: Bestäm största och minsta värdet av $\displaystyle f(x)=x^3-3x$ när $\displaystyle -2\le x\le3$ .

Interaktiva funktioner

Derivatans tecken

Funktionen är $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+1$ .

Punkt: $\displaystyle x=1$

f(1)=\nobreak -\nobreak 1,\quad\allowbreak f'(1)=\nobreak -\nobreak 3,\quad\allowbreak f''(1)=\nobreak 0

Derivatan är negativ: funktionen avtar.

Grafen och tangenten

Lodrät axel: y

−10123−4−3−2−10123

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+1$
Streckad: Tangenten

Markerade punkter (ungefär):

Vald punkt: (1; −1)

Andraderivatatestet

Funktionen är $\displaystyle g(x)=x^4-4x^3+2$ .

Punkt: $\displaystyle x=2$

g'(2)=\nobreak -\nobreak 16,\quad\allowbreak g''(2)=\nobreak 0

Derivatan är negativ: funktionen avtar här.

Vinst och försäljning

Vinsten är $\displaystyle P(x)=-2x^2+120x-1000$ kronor.

Sålda enheter: $\displaystyle x=20$

P(20)=\nobreak 600,\quad\allowbreak P'(20)=\nobreak 40

Derivatan är positiv: vinsten ökar om försäljningen ökar.

Vinsten som funktion av antalet enheter

Lodrät axel: y

0102030405060−1 000−50005001 000

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 10 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 500.

Heldragen: $\displaystyle P(x)=-2x^2+120x-1000$

Markerade punkter (ungefär):

Valt antal: (20; 600)
Maximum: (30; 800)

Vanliga misstag

Att glömma ändpunkterna när du söker största och minsta värde på ett slutet intervall.
Att tro att alla stationära punkter är extrempunkter och missa terrasspunkter.
Att blanda ihop lokala och globala extrempunkter.
Att tro att andraderivatatestet alltid ger svar, även när $\displaystyle f''(a)=0$ .

Vanliga frågor

Tips för att bemästra extrempunkter

Strategi

Skissa funktionen och derivatan för att se teckenbytena.
Jämför alltid med ändpunkterna på ett slutet intervall.
Kontrollera med digitala verktyg, men gör lösningen själv först.
Skriv tydligt ut derivatans tecken i varje intervall.

Testa dig själv1/3

I $\displaystyle x=a$ är $\displaystyle f'(a)=0$ och $\displaystyle f''(a)=-3$ . Vad gäller?

Fördjupning för Ma3c

I verkliga optimeringsproblem räcker det inte att hitta en matematisk extrempunkt. Kontrollera också att lösningen uppfyller villkoren (till exempel att en längd är positiv), att enheterna stämmer och att svaret är rimligt i sammanhanget.

Testa att du förstått

Träna uppgifter i integraler för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här

Bakgrund

Teori

1. Derivatan och lutning

Viktigt

2. Olika slags extrempunkter

3. Teckentabell (förstaderivatatestet)

Klassificera med teckenbyte

4. Andraderivatatestet

5. Funktion och derivata i samma bild

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Hitta och klassificera extrempunkter

Exempel 2: När andraderivatatestet inte räcker

Exempel 3: Största vinst

Exempel 4: Största och minsta värde på ett intervall

Interaktiva funktioner

Derivatans tecken

Andraderivatatestet

Vinst och försäljning

Vanliga misstag

Vanliga frågor

Vad är skillnaden mellan lokala och globala extrempunkter?

Hur vet jag om en punkt är en terrasspunkt?

Hur hittar jag inflexionspunkter?

Vad händer om derivatan är 0 överallt?

Hur hanterar jag punkter där derivatan inte finns?

Tips för att bemästra extrempunkter

Strategi

Testa dig själv1/3

Fördjupning för Ma3c

Testa att du förstått