Kapitel 3: Kurvor, derivator och integraler | Matematik 3

Bakgrund

I det här kapitlet använder du derivatan för att undersöka hur grafer ser ut: var de växer och avtar, var de har extrempunkter och hur de böjer. Sedan går du åt andra hållet, från derivata till funktion, och lär dig beräkna areor med integraler.

Teori

1. Derivatan och grafens form

$\displaystyle f'(x)>0$ : funktionen växer.
$\displaystyle f'(x)<0$ : funktionen avtar.
$\displaystyle f'(x)=0$ : vågrät tangent. Det kan vara en maximipunkt, minimipunkt eller terrasspunkt.

2. Andraderivatan

Andraderivatan $\displaystyle f''(x)$ visar hur lutningen ändras. Om $\displaystyle f'(a)=0$ och $\displaystyle f''(a)<0$ är det en maximipunkt, och om $\displaystyle f''(a)>0$ en minimipunkt.

3. Primitiva funktioner

En primitiv funktion $\displaystyle F$ till $\displaystyle f$ är en funktion vars derivata är $\displaystyle f$ : $\displaystyle F'(x)=f(x)$ . Det finns alltid oändligt många, eftersom man kan lägga till en konstant $\displaystyle C$ .

$\displaystyle f(x)=x^n$ har $\displaystyle F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ när $\displaystyle n\neq-1$ .
$\displaystyle f(x)=e^{kx}$ har $\displaystyle F(x)=\dfrac{e^{kx}}{k}+C$ .

4. Integraler

Integralen av $\displaystyle f$ från $\displaystyle a$ till $\displaystyle b$ beräknas med en primitiv funktion:

\int_a^b f(x)\,dx=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-\nobreak F(a)

Om $\displaystyle f(x)\ge0$ är integralen arean mellan grafen och x-axeln. Tecknet $\displaystyle dx$ visar att $\displaystyle x$ är variabeln.

5. Tillämpningar

Optimering: största och minsta värden.
Hastighet och acceleration.
Total förändring, till exempel sträcka från hastighet.

Fördjupning (Ma4): derivator av produkter och sammansatta funktioner samt primitiva funktioner till $\displaystyle \frac{1}{x}$ , $\displaystyle \sin x$ och $\displaystyle \cos x$ .

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Extrempunkter

Uppgift: Bestäm extrempunkterna till $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+2$ och avgör deras typ.

Exempel 2: Största produkt

Uppgift: Två positiva tal har summan 10. Vilka tal ger den största produkten?

Exempel 3: Primitiv funktion med villkor

Uppgift: Bestäm den primitiva funktion $\displaystyle F$ till $\displaystyle f(x)=2x+3$ som uppfyller $\displaystyle F(0)=1$ .

Exempel 4: Area med integral

Uppgift: Beräkna arean mellan kurvan $\displaystyle y=x^2$ , x-axeln och linjerna $\displaystyle x=0$ och $\displaystyle x=2$ .

Fördjupning: partiell integration

Uppgift: Visa att $\displaystyle F(x)=x\sin x+\cos x$ är en primitiv funktion till $\displaystyle f(x)=x\cos x$ .

Interaktiva funktioner

Derivatan och grafens form

Funktionen är $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+2$ .

Punkt: $\displaystyle x=1$

f(1)=\nobreak 0,\quad\allowbreak f'(1)=\nobreak -\nobreak 3,\quad\allowbreak f''(1)=\nobreak 0

Derivatan är negativ: funktionen avtar här.

Grafen och tangenten

Lodrät axel: y

−2−101234−4−3−2−101234

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+2$
Streckad: Tangenten

Markerade punkter (ungefär):

Vald punkt: (1; 0)

Arean under en parabel

Integralen $\displaystyle \displaystyle\int_0^b x^2\,dx=\dfrac{b^3}{3}$ är arean under $\displaystyle y=x^2$ från 0 till $\displaystyle b$ .

Övre gräns: $\displaystyle b=2$

\int_0^{2} x^2\,dx=\dfrac{2^3}{3}\approx\nobreak 2{,}667

Arean under parabeln

Lodrät axel: y

−10123−1012345678910

Vågrät axel: x

Varje ruta motsvarar 1 på den vågräta axeln. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=x^2$

Skuggat område från $\displaystyle x=0$ till $\displaystyle x=2$ .

Vanliga misstag

Att tro att $\displaystyle f'(x)=0$ alltid ger en extrempunkt. Det kan vara en terrasspunkt.
Att glömma ändpunkterna när du söker största och minsta värde på ett intervall.
Att glömma konstanten $\displaystyle C$ när du anger alla primitiva funktioner.
Att blanda ihop derivering (exponenten minskar) och integration (exponenten ökar).
Att räkna $\displaystyle F(a)-F(b)$ i stället för $\displaystyle F(b)-F(a)$ .

Vanliga frågor

Tips för att bemästra kurvor, derivator och integraler

Viktigt att tänka på

Gör en teckentabell för derivatan när du undersöker en graf.
Vid optimering: undersök både punkter där derivatan är 0 och ändpunkterna.
Kontrollera en primitiv funktion genom att derivera den.
Skissa grafen innan du beräknar en area, så att du ser om funktionen är positiv.

Testa dig själv1/3

Funktionen $\displaystyle f$ har $\displaystyle f'(1)=0$ och $\displaystyle f''(1)=5$ . Vad finns i $\displaystyle x=1$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i integraler för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här