Vad säger derivatan om funktionens graf?

Lösning

1. Steg 1. Derivera och faktorisera.

   $$f'(x)=3x^2-\nobreak 6x-\nobreak 9=3(x-\nobreak 3)(x+\nobreak 1)$$

2. Steg 2. Derivatan är 0 när $\displaystyle x=-1$ och $\displaystyle x=3$. Testvärden: $\displaystyle f'(-2)=15>0$, $\displaystyle f'(0)=-9<0$ och $\displaystyle f'(4)=15>0$.

3. Steg 3. Funktionsvärdena i de stationära punkterna.

   $$f(-\nobreak 1)=\nobreak 10,\quad\allowbreak f(3)=\nobreak -\nobreak 22$$

4. Steg 4. Andraderivatan $\displaystyle f''(x)=6x-6$ är 0 när $\displaystyle x=1$ och byter tecken där.

   $$f(1)=\nobreak 1-\nobreak 3-\nobreak 9+\nobreak 5=\nobreak -\nobreak 6$$

Svar: Funktionen växer när $\displaystyle x\le-1$ och $\displaystyle x\ge3$ och avtar när $\displaystyle -1\le x\le3$. Maximipunkt $\displaystyle (-1;\ 10)$, minimipunkt $\displaystyle (3;\ -22)$ och inflexionspunkt $\displaystyle (1;\ -6)$.

Lösning

1. Steg 1. Derivera.

   $$g'(x)=\nobreak e^x-\nobreak 2x,\quad\allowbreak g''(x)=\nobreak e^x-\nobreak 2$$

2. Steg 2. För att visa att $\displaystyle g'(x)$ alltid är positiv, bestäm dess minsta värde. Derivatan av $\displaystyle g'(x)$ är $\displaystyle g''(x)=e^x-2$, som är 0 när $\displaystyle x=\ln2$.

   $$g'(\ln2)=2-\nobreak 2\ln2\approx\nobreak 0{,}61>\nobreak 0$$

3. Steg 3. Det minsta värdet av $\displaystyle g'(x)$ är positivt, så $\displaystyle g'(x)>0$ för alla $\displaystyle x$.

4. Steg 4. Andraderivatan byter tecken i $\displaystyle x=\ln2\approx0{,}69$.

   $$g(\ln2)=2-\nobreak (\ln2)^2\approx\nobreak 1{,}52$$

Svar: Funktionen växer för alla $\displaystyle x$. Inflexionspunkten är ungefär $\displaystyle (0{,}69;\ 1{,}52)$.

Lösning

1. Steg 1. Derivatan är 0 bara när $\displaystyle x=0$.

   $$t'(x)=\nobreak 3x^2=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ x=\nobreak 0$$

2. Steg 2. Eftersom $\displaystyle x^2\ge0$ är derivatan positiv på båda sidor om 0. Den byter inte tecken.

Svar: Origo är en terrasspunkt. Funktionen växer överallt, men planar ut i origo.

Lösning

1. Steg 1. Kvotregeln ger

   $$h'(x)=\dfrac{2x(x-\nobreak 1)-\nobreak x^2}{(x-\nobreak 1)^2}=\dfrac{x^2-\nobreak 2x}{(x-\nobreak 1)^2}$$

2. Steg 2. Täljaren är 0 när $\displaystyle x=0$ eller $\displaystyle x=2$. Nämnaren är alltid positiv utom i $\displaystyle x=1$, där funktionen har en lodrät asymptot.

   $$h(0)=\nobreak 0,\quad\allowbreak h(2)=\nobreak 4$$

Svar: Maximipunkt $\displaystyle (0;\ 0)$ och minimipunkt $\displaystyle (2;\ 4)$. Funktionen avtar mellan 0 och 2, utom i $\displaystyle x=1$ där den inte är definierad.