Trigonometriska ekvationer

Lösning

1. Steg 1. Ett exakt värde ger den första lösningen.

   $$\sin30^\circ=\dfrac{1}{2}\ \Rightarrow\ v_1=\nobreak 30^\circ$$

2. Steg 2. Spegling i y-axeln ger den andra punkten med samma y-koordinat.

   $$v_2=180^\circ-\nobreak 30^\circ=150^\circ$$

3. Steg 3. Lägg till ett godtyckligt antal hela varv.

   $$v=30^\circ+n\cdot\nobreak 360^\circ\ \text{ eller }\ v=150^\circ+\nobreak n\cdot\nobreak 360^\circ$$

Svar: $\displaystyle v=30^\circ+n\cdot360^\circ$ eller $\displaystyle v=150^\circ+n\cdot360^\circ$, där $\displaystyle n$ är ett heltal.

Lösning

1. Steg 1. Räknaren i gradläge ger en lösning.

   $$v_1=\cos^{-\nobreak 1}0{,}3\approx72{,}5^\circ$$

2. Steg 2. Den andra lösningen är spegelbilden i x-axeln, alltså $\displaystyle -72{,}5^\circ$. Lägg till ett helt varv för att hamna i intervallet.

   $$v_2\approx-\nobreak 72{,}5^\circ+\nobreak 360^\circ=287{,}5^\circ$$

Svar: $\displaystyle v\approx72{,}5^\circ$ eller $\displaystyle v\approx287{,}5^\circ$.

Lösning

1. Steg 1. Exakt gäller $\displaystyle \tan45^\circ=1$. Tangens byter tecken när vinkeln byter tecken.

   $$v_1=-\nobreak 45^\circ$$

2. Steg 2. Tangens har perioden $\displaystyle 180^\circ$. Lägg till halva varv tills vinklarna ligger i intervallet.

   $$-\nobreak 45^\circ+\nobreak 180^\circ=135^\circ,\quad\allowbreak -\nobreak 45^\circ+\nobreak 360^\circ=315^\circ$$

Svar: $\displaystyle v=135^\circ$ eller $\displaystyle v=315^\circ$.

Lösning

1. Steg 1. Lös ut $\displaystyle \sin v$ som om det vore en vanlig obekant.

   $$2\sin v=\nobreak -\nobreak 1\ \Leftrightarrow\ \sin v=-\nobreak \dfrac{1}{2}$$

2. Steg 2. Eftersom $\displaystyle \sin30^\circ=\frac{1}{2}$ är $\displaystyle \sin(-30^\circ)=-\frac{1}{2}$. Symmetrin ger den andra lösningen.

   $$v_1=-\nobreak 30^\circ,\quad\allowbreak v_2=180^\circ-\nobreak (-\nobreak 30^\circ)=210^\circ$$

3. Steg 3. Lägg till ett helt varv till $\displaystyle v_1$ så att den hamnar i intervallet.

   $$-\nobreak 30^\circ+\nobreak 360^\circ=330^\circ$$

Svar: $\displaystyle v=210^\circ$ eller $\displaystyle v=330^\circ$. Båda ligger i tredje och fjärde kvadranten, där sinus är negativ.

Lösning

1. Steg 1. Lös först ut vinkeln $\displaystyle 2v$, precis som i exempel 1.

   $$2v=30^\circ+n\cdot\nobreak 360^\circ\ \text{ eller }\ 2v=150^\circ+\nobreak n\cdot\nobreak 360^\circ$$

2. Steg 2. Dividera båda leden med 2. Perioden halveras också.

   $$v=15^\circ+n\cdot\nobreak 180^\circ\ \text{ eller }\ v=75^\circ+\nobreak n\cdot\nobreak 180^\circ$$

3. Steg 3. Välj $\displaystyle n=0$ och $\displaystyle n=1$ för att få vinklarna i intervallet.

   $$15^\circ,\quad\allowbreak 75^\circ,\quad\allowbreak 195^\circ,\quad\allowbreak 255^\circ$$

Svar: Fyra lösningar: $\displaystyle 15^\circ$, $\displaystyle 75^\circ$, $\displaystyle 195^\circ$ och $\displaystyle 255^\circ$. Att perioden halveras ger dubbelt så många lösningar.