Cirkelns ekvation

Lösning

1. Steg 1. Sätt in $\displaystyle a=2$, $\displaystyle b=-3$ och $\displaystyle r=4$. Minus minus tre blir plus tre.

   $$(x-\nobreak 2)^2+\nobreak (y+\nobreak 3)^2=\nobreak 16$$

2. Steg 2. Utveckla båda kvadraterna med kvadreringsreglerna.

   $$x^2-\nobreak 4x+\nobreak 4+\nobreak y^2+\nobreak 6y+\nobreak 9=\nobreak 16$$

3. Steg 3. Samla alla termer i vänsterledet. Konstanterna blir $\displaystyle 4+9-16=-3$.

   $$x^2+\nobreak y^2-\nobreak 4x+\nobreak 6y-\nobreak 3=\nobreak 0$$

Svar: $\displaystyle (x-2)^2+(y+3)^2=16$, eller utvecklat $\displaystyle x^2+y^2-4x+6y-3=0$.

Lösning

1. Steg 1. Gruppera x-termerna och y-termerna.

   $$(x^2-\nobreak 6x)+\nobreak (y^2+\nobreak 8y)+\nobreak 9=\nobreak 0$$

2. Steg 2. Kvadratkomplettera. Halva koefficienten i kvadrat läggs till och dras bort.

   $$x^2-\nobreak 6x=(x-\nobreak 3)^2-\nobreak 9,\quad\allowbreak y^2+\nobreak 8y=(y+\nobreak 4)^2-\nobreak 16$$

3. Steg 3. Sätt in och flytta konstanterna till högerledet: $\displaystyle 9+16-9=16$.

   $$(x-\nobreak 3)^2+\nobreak (y+\nobreak 4)^2=\nobreak 16$$

Svar: Medelpunkten är $\displaystyle (3;\ -4)$ och radien är $\displaystyle \sqrt{16}=4$.

Lösning

1. Steg 1. Sätt in punkten i vänsterledet. Det ger kvadraten på avståndet till medelpunkten.

   $$(5-\nobreak 2)^2+\nobreak (1+\nobreak 3)^2=\nobreak 9+\nobreak 16=\nobreak 25$$

2. Steg 2. Jämför med $\displaystyle r^2=16$. Avståndet är $\displaystyle \sqrt{25}=5$, som är större än radien 4.

   $$25>\nobreak 16$$

Svar: Punkten ligger utanför cirkeln.

Lösning

1. Steg 1. I skärningspunkterna gäller båda ekvationerna. Ersätt $\displaystyle y$ med $\displaystyle x+1$ i cirkelns ekvation.

   $$x^2+\nobreak (x+\nobreak 1)^2=\nobreak 25$$

2. Steg 2. Utveckla och samla termerna. Dividera sedan med 2.

   $$2x^2+\nobreak 2x-\nobreak 24=\nobreak 0\ \Leftrightarrow\ x^2+\nobreak x-\nobreak 12=\nobreak 0$$

3. Steg 3. Lös med pq-formeln, där $\displaystyle p=1$ och $\displaystyle q=-12$.

   $$x=-\nobreak \dfrac{1}{2}\pm\nobreak \sqrt{\dfrac{1}{4}+\nobreak 12}=-\nobreak \dfrac{1}{2}\pm\nobreak \dfrac{7}{2}$$

4. Steg 4. Det ger $\displaystyle x_1=3$ och $\displaystyle x_2=-4$. Linjens ekvation ger y-värdena.

   $$y_1=\nobreak 3+\nobreak 1=\nobreak 4,\quad\allowbreak y_2=\nobreak -\nobreak 4+\nobreak 1=\nobreak -\nobreak 3$$

Svar: Skärningspunkterna är $\displaystyle (3;\ 4)$ och $\displaystyle (-4;\ -3)$. Kontroll: $\displaystyle 3^2+4^2=25$ och $\displaystyle (-4)^2+(-3)^2=25$.

Lösning

1. Steg 1. En tangent är vinkelrät mot radien i tangeringspunkten. Radien går från origo till $\displaystyle (3;\ 4)$.

   $$k_{\text{radie}}=\dfrac{4-\nobreak 0}{3-\nobreak 0}=\dfrac{4}{3}$$

2. Steg 2. För vinkelräta linjer är produkten av lutningarna $\displaystyle -1$.

   $$k_{\text{tangent}}=-\nobreak \dfrac{3}{4}$$

3. Steg 3. Använd enpunktsformen $\displaystyle y-y_1=k(x-x_1)$ med punkten $\displaystyle (3;\ 4)$.

   $$y-\nobreak 4=-\nobreak \dfrac{3}{4}(x-\nobreak 3)\ \Leftrightarrow\ y=-\nobreak \dfrac{3}{4}x+\nobreak \dfrac{25}{4}$$

Svar: $\displaystyle y=-0{,}75x+6{,}25$.