Kapitel 5: Trigonometri (Ma3c) | Matematik 3

Bakgrund

I Matematik 1 definierades sinus, cosinus och tangens i rätvinkliga trianglar. I det här kapitlet utvidgas begreppen till alla vinklar med hjälp av enhetscirkeln. Du lär dig exakta värden, löser trigonometriska ekvationer och beräknar sidor och vinklar i alla trianglar med sinussatsen, cosinussatsen och areasatsen.

Teori

1. Rätvinklig triangel

\sin v=\dfrac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenusa}},\quad\allowbreak \cos v=\dfrac{\text{närliggande katet}}{\text{hypotenusa}},\quad\allowbreak \tan v=\dfrac{\text{motstående katet}}{\text{närliggande katet}}

2. Enhetscirkeln

Enhetscirkeln har radien 1 och medelpunkt i origo. En vinkel $\displaystyle v$ mäts moturs från positiva x-axeln. Punkten där vinkelns ben skär cirkeln har koordinaterna

(x;\ y)=\nobreak (\cos v;\ \sin v),\qquad\allowbreak \tan v=\dfrac{\sin v}{\cos v}

Eftersom punkten ligger på cirkeln gäller trigonometriska ettan:

\sin^2v+\nobreak \cos^2v=\nobreak 1

3. Exakta värden

Vinkel	sin	cos	tan
$\displaystyle 30^\circ$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\displaystyle 45^\circ$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle 60^\circ$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \sqrt{3}$

4. Symmetrier

$\displaystyle \sin(180^\circ-v)=\sin v$ : spegling i y-axeln behåller y-koordinaten.
$\displaystyle \cos(360^\circ-v)=\cos v$ : spegling i x-axeln behåller x-koordinaten.
Sinus och cosinus upprepar sig efter $\displaystyle 360^\circ$ , och tangens efter $\displaystyle 180^\circ$ .

5. Godtyckliga trianglar

I en triangel med vinklarna $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ , $\displaystyle C$ och motstående sidor $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ gäller

T=\dfrac{ab\sin C}{2}

\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\sin B}{b}=\dfrac{\sin C}{c}

c^2=a^2+\nobreak b^2-\nobreak 2ab\cos C

Fördjupning (Ma4): vinklar i radianer, sambandet med komplexa tal och additionsformler som

\sin(A+\nobreak B)=\sin A\cos B+\nobreak \cos A\sin B

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Värden i andra kvadranten

Uppgift: Bestäm exakt $\displaystyle \sin150^\circ$ och $\displaystyle \cos150^\circ$ .

Exempel 2: Trigonometrisk ekvation

Uppgift: Lös $\displaystyle \sin v=0{,}5$ för $\displaystyle 0^\circ\le v<360^\circ$ .

Exempel 3: Triangelns area

Uppgift: En triangel har sidorna 6 cm och 8 cm, och vinkeln mellan dem är $\displaystyle 40^\circ$ . Beräkna arean.

Interaktiva funktioner

Enhetscirkeln

Välj en vinkel och läs av cosinus som x-koordinat och sinus som y-koordinat. I figuren betecknas vinkeln med $\displaystyle \theta$ , i texten med $\displaystyle v$ .

Vinkel: $\displaystyle v=30^\circ$

Enhetscirkeln: radien är 1

Lodrät axel: yVågrät axel: x

-101-11

Vinkeln mäts moturs från positiva x-axeln. Den heldragna radien slutar i P. De streckade linjerna visar punktens koordinater.

$\displaystyle \theta=30^\circ$

$\displaystyle x=\cos\theta\approx0{,}866$

$\displaystyle y=\sin\theta\approx0{,}5$

$\displaystyle \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\approx0{,}577$

Första kvadranten: sinus och cosinus är positiva.

Ekvationen sin v = k

Lösningar mellan $\displaystyle 0^\circ$ och $\displaystyle 360^\circ$ .

Högerled: $\displaystyle k=0{,}5$

v_{1}\approx\nobreak 30^\circ,\quad\allowbreak v_{2}\approx150^\circ

Den andra lösningen fås med symmetrin 180° minus den första vinkeln.

Sinuskurvan och linjen y = k

Lodrät axel: y

0°90°180°270°360°−101

Vågrät axel: v (grader)

Rutlinjerna på x-axeln visar de markerade värdena. På den lodräta axeln motsvarar en ruta 1.

Heldragen: $\displaystyle y=\sin v$
Streckad: $\displaystyle y=k$

Lodrät streckad hjälplinje: $\displaystyle v=30^\circ$ .

Lodrät streckad hjälplinje: $\displaystyle v=150^\circ$ .

Vanliga misstag

Att ha räknaren i radianläge när vinkeln anges i grader.
Att missa den andra lösningen till en trigonometrisk ekvation.
Att ge fel tecken i andra, tredje och fjärde kvadranten.
Att använda sidor och vinklar som inte hör ihop i sinus- och cosinussatsen.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra trigonometri

Viktigt att tänka på

Rita enhetscirkeln och markera punkten när du räknar.
Lär dig de exakta värdena för $\displaystyle 30^\circ$ , $\displaystyle 45^\circ$ och $\displaystyle 60^\circ$ .
Kontrollera att räknaren är i gradläge.
Skissa grafen när du löser trigonometriska ekvationer.

Testa dig själv1/3

Vilket exakt värde har $\displaystyle \sin30^\circ$ ?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i trigonometri för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här