Kapitel 5.4: Trigonometri i rätvinkliga trianglar (Ma3c) | Matematik 3

Bakgrund

I en rätvinklig triangel bestämmer en spetsig vinkel förhållandet mellan sidorna. Sinus, cosinus och tangens är namn på de förhållandena. Med dem kan du räkna ut sidor och vinklar som är svåra att mäta direkt, till exempel höjden på ett träd eller lutningen på en ramp.

Teori

Hypotenusan är den längsta sidan, mittemot den räta vinkeln. Kateterna namnges efter vinkeln $\displaystyle v$ du räknar med: den motstående kateten ligger mittemot vinkeln, den närliggande kateten ligger intill den.

Sidornas namn i förhållande till vinkeln v

CBAnärliggandemotståendehypotenusa

\displaystyle v

90°

\sin v=\dfrac{\text{motstående}}{\text{hypotenusa}},\quad\allowbreak \cos v=\dfrac{\text{närliggande}}{\text{hypotenusa}},\quad\allowbreak \tan v=\dfrac{\text{motstående}}{\text{närliggande}}

Kvoterna beror bara på vinkeln, inte på hur stor triangeln är, eftersom alla rätvinkliga trianglar med samma vinkel $\displaystyle v$ är likformiga.

Beräkna en sida eller en vinkel

Känd vinkel och en sida: välj den kvot som innehåller den kända sidan och den sökta, och lös ut den sökta.
Två kända sidor: beräkna kvoten och använd $\displaystyle \sin^{-1}$ , $\displaystyle \cos^{-1}$ eller $\displaystyle \tan^{-1}$ för att få vinkeln.

Exakta värden från två specialtrianglar

Halvera en liksidig triangel med sidan 2. Då får du en rätvinklig triangel med vinklarna $\displaystyle 30^\circ$ och $\displaystyle 60^\circ$ , kateterna 1 och $\displaystyle \sqrt{3}$ och hypotenusan 2. En likbent rätvinklig triangel med kateterna 1 har hypotenusan $\displaystyle \sqrt{2}$ och två vinklar på $\displaystyle 45^\circ$ .

\sin30^\circ=\dfrac{1}{2},\quad\allowbreak \cos30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad\allowbreak \sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{2}},\quad\allowbreak \tan60^\circ=\nobreak \sqrt{3}

Exempel och tillämpningar

Exempel 1: Beräkna kateterna

Uppgift: En rätvinklig triangel har hypotenusan 10 cm och vinkeln $\displaystyle v=35^\circ$ . Beräkna kateterna.

Exempel 2: Beräkna en vinkel

Uppgift: Kateterna i en rätvinklig triangel är 5 cm och 12 cm. Beräkna vinkeln $\displaystyle v$ mittemot kateten 5 cm.

Exempel 3: Trädets höjd

Uppgift: Du står 25 m från ett träd och ser toppen under vinkeln $\displaystyle 32^\circ$ mot vågrätt. Dina ögon är 1,6 m över marken. Hur högt är trädet?

Interaktiva funktioner

Sidor ur hypotenusa och vinkel

Ändra hypotenusan och vinkeln. Triangeln ritas i rätt proportioner.

Hypotenusa: $\displaystyle c=10\text{ cm}$

Vinkel: $\displaystyle v=35^\circ$

a=\nobreak c\sin v=10\cdot\nobreak \sin35^\circ\approx\nobreak 5{,}74\text{ cm}

b=\nobreak c\cos v=10\cdot\nobreak \cos35^\circ\approx\nobreak 8{,}19\text{ cm}

\tan35^\circ=\dfrac{a}{b}\approx\nobreak 0{,}7

Triangeln med valda mått

CBA

\displaystyle a\approx5{,}7

\displaystyle b\approx8{,}2

\displaystyle c=10

35°90°

Vanliga misstag

Att blanda ihop motstående och närliggande katet. Utgå alltid från den vinkel du räknar med.
Att använda sinus, cosinus och tangens på detta sätt i trianglar som inte är rätvinkliga. Där behövs sinussatsen eller cosinussatsen.
Att dividera i stället för att multiplicera när den sökta sidan står i täljaren.
Att ha räknaren i radianläge.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra trigonometri i rätvinkliga trianglar

Viktigt att tänka på

Rita triangeln och märk ut vinkeln, de kända sidorna och den sökta.
Kontrollera svaret med Pythagoras sats eller vinkelsumman $\displaystyle 180^\circ$ .
Behåll alla decimaler på räknaren tills slutet.

Testa dig själv: Rätvinkliga trianglar1/3

En rätvinklig triangel har hypotenusan 8 cm och en vinkel $\displaystyle 30^\circ$ . Hur lång är kateten mittemot vinkeln?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i trigonometri för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här