Trigonometri för godtyckliga trianglar

Lösning

1. Steg 1. Sidan $\displaystyle a$ och vinkeln $\displaystyle A$ bildar ett känt par. Sinussatsen kopplar ihop det med paret $\displaystyle b$ och $\displaystyle B$. Här är den skriven med sidorna i täljaren, vilket är lika sant.

   $$\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{a}{\sin A}$$

2. Steg 2. Multiplicera båda leden med $\displaystyle \sin B$ och sätt in värdena.

   $$b=\dfrac{10\cdot\nobreak \sin75^\circ}{\sin40^\circ}\approx\dfrac{9{,}659}{0{,}6428}\approx\nobreak 15{,}0\text{ cm}$$

Svar: $\displaystyle b\approx15{,}0\text{ cm}$. Den större vinkeln $\displaystyle B$ ligger mittemot den längre sidan, som det ska.

Lösning

1. Steg 1. Använd sinussatsen och lös ut $\displaystyle \sin B$.

   $$\sin B=\dfrac{b\sin A}{a}=\dfrac{10\cdot\nobreak \sin40^\circ}{8}\approx\nobreak 0{,}8035$$

2. Steg 2. Två vinklar mellan $\displaystyle 0^\circ$ och $\displaystyle 180^\circ$ har detta sinusvärde, eftersom $\displaystyle \sin(180^\circ-v)=\sin v$.

   $$B_1\approx53{,}5^\circ,\quad\allowbreak B_2\approx180^\circ-\nobreak 53{,}5^\circ=126{,}5^\circ$$

3. Steg 3. Kontrollera att vinkelsumman blir under $\displaystyle 180^\circ$ i båda fallen.

   $$40^\circ+\nobreak 53{,}5^\circ<180^\circ,\quad\allowbreak 40^\circ+\nobreak 126{,}5^\circ<180^\circ$$

Svar: Båda fungerar. Det finns två trianglar: $\displaystyle B\approx53{,}5^\circ$ eller $\displaystyle B\approx126{,}5^\circ$.

Lösning

1. Steg 1. Två sidor och mellanliggande vinkel är kända. Använd areasatsen.

   $$T=\dfrac{7\cdot\nobreak 9\cdot\nobreak \sin50^\circ}{2}$$

2. Steg 2. Beräkna.

   $$T\approx\dfrac{63\cdot\nobreak 0{,}766}{2}\approx\nobreak 24{,}1$$

Svar: Arean är ungefär $\displaystyle 24\text{ m}^2$.