Kapitel 5.5.1: Sinussatsen (Ma3c) | Matematik 3

Bakgrund

Sinussatsen säger att en större vinkel alltid ligger mittemot en längre sida, och anger exakt hur. Den används när du känner till en sida och vinkeln mittemot den. Typiska tillämpningar är avståndsmätning, där två vinklar mäts från en känd baslinje.

Teori

Sinussatsen

\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\sin B}{b}=\dfrac{\sin C}{c}

Satsen kan också skrivas med sidorna i täljaren, $\displaystyle \dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$ . Välj den form där det du söker hamnar i täljaren.

Varje sida ligger mittemot vinkeln med samma bokstav

CBA

\displaystyle a

\displaystyle b

\displaystyle c

\displaystyle A

\displaystyle B

\displaystyle C

Varför gäller satsen?

Dra höjden $\displaystyle h$ från hörnet $\displaystyle C$ ner till sidan $\displaystyle c$ . Den delar triangeln i två rätvinkliga trianglar. I den ena är $\displaystyle b$ hypotenusa, i den andra är $\displaystyle a$ det:

h=\nobreak b\sin A\quad\text{och}\quad h=\nobreak a\sin B

Båda uttrycken är samma höjd, så de är lika. Dividera båda leden med $\displaystyle ab$ :

b\sin A=\nobreak a\sin B\ \Leftrightarrow\ \dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\sin B}{b}

Med en höjd från ett annat hörn fås likheten med $\displaystyle \dfrac{\sin C}{c}$ på samma sätt.

Två möjliga vinklar

När du räknar ut en vinkel får du ett sinusvärde. Både $\displaystyle v$ och $\displaystyle 180^\circ-v$ har samma sinusvärde. Kontrollera alltid om den trubbiga vinkeln också ger en vinkelsumma under $\displaystyle 180^\circ$ .

Exempel

Exempel 1: Beräkna två sidor

Uppgift: I triangeln $\displaystyle ABC$ är $\displaystyle A=35^\circ$ , $\displaystyle B=60^\circ$ och $\displaystyle c=12\text{ cm}$ . Beräkna sidorna $\displaystyle a$ och $\displaystyle b$ .

Exempel 2: Beräkna en vinkel

Uppgift: I en triangel är $\displaystyle a=7\text{ cm}$ , $\displaystyle b=9\text{ cm}$ och $\displaystyle B=70^\circ$ . Beräkna vinkeln $\displaystyle A$ .

Exempel 3: Två lösningar

Uppgift: I en triangel är $\displaystyle a=6\text{ cm}$ , $\displaystyle b=8\text{ cm}$ och $\displaystyle A=35^\circ$ . Beräkna vinkeln $\displaystyle B$ .

Exempel 4: Avstånd till en ballong

Uppgift: Två personer står 500 m från varandra i punkterna $\displaystyle A$ och $\displaystyle B$ . De ser en ballong $\displaystyle C$ mellan sig under vinklarna $\displaystyle 62^\circ$ respektive $\displaystyle 48^\circ$ mot linjen $\displaystyle AB$ . Hur långt är det från $\displaystyle A$ till ballongen?

Interaktiva funktioner

Två vinklar och en sida

Välj vinklarna $\displaystyle A$ och $\displaystyle B$ och sidan $\displaystyle a$ . Verktyget beräknar resten med sinussatsen.

Vinkel: $\displaystyle A=35^\circ$

Vinkel: $\displaystyle B=60^\circ$

$\displaystyle a=7\text{ cm}$

C=180^\circ-\nobreak 35^\circ-\nobreak 60^\circ=\nobreak 85^\circ

b=\dfrac{a\sin B}{\sin A}=\dfrac{7\cdot\nobreak \sin60^\circ}{\sin35^\circ}\approx\nobreak 10{,}57\text{ cm}

c=\dfrac{a\sin C}{\sin A}=\dfrac{7\cdot\nobreak \sin85^\circ}{\sin35^\circ}\approx\nobreak 12{,}16\text{ cm}

Triangeln med valda mått

CBA

\displaystyle a=7

\displaystyle b\approx10{,}6

\displaystyle c\approx12{,}2

35°60°85°

Vanliga misstag

Att para ihop en sida med en vinkel som inte ligger mittemot den.
Att glömma den trubbiga lösningen när en vinkel beräknas.
Att försöka använda sinussatsen när bara sidor, eller två sidor och vinkeln mellan dem, är kända. Då behövs cosinussatsen.
Att ha räknaren i radianläge.

Vanliga frågor

Tips för att bemästra sinussatsen

Viktigt att tänka på

Markera det kända paret av sida och motstående vinkel i figuren.
Använd vinkelsumman $\displaystyle 180^\circ$ när två vinklar är kända.
Kontrollera att den längsta sidan ligger mittemot den största vinkeln.

Testa dig själv: Sinussatsen1/3

Vad behöver du känna till för att kunna använda sinussatsen?

Testa att du förstått

Träna uppgifter i trigonometri för Matematik 3. Du får facit och förklaring direkt.

Träna på det här